Calcolo Esempi

$y = \ln (| 3 x^{2} - 5 x |)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| 3 x^{2} - 5 x |))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | 3 x^{2} - 5 x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $| 3 x^{2} - 5 x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 5 x |]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 5 x |]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $| 3 x^{2} - 5 x |$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 5 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 5 x |]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = 3 x^{2} - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x^{2} - 5 x$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 5 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $| u_{2} |$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 5 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x^{2} - 5 x$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 5 x |} (\frac{3 x^{2} - 5 x}{| 3 x^{2} - 5 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{3 x^{2} - 5 x}{| 3 x^{2} - 5 x |}$ per $\frac{1}{| 3 x^{2} - 5 x |}$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| 3 x^{2} - 5 x | | 3 x^{2} - 5 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Passaggio 3.4

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| (3 x^{2} - 5 x) (3 x^{2} - 5 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Passaggio 3.5

Eleva $3 x^{2} - 5 x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{1} (3 x^{2} - 5 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Passaggio 3.6

Eleva $3 x^{2} - 5 x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{1} {(3 x^{2} - 5 x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Passaggio 3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Passaggio 3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Passaggio 3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 3.10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 3.12

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 3.13

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (6 x - 5 \cdot 1)$

Passaggio 3.15

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (6 x - 5)$

Passaggio 3.16

Semplifica.

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Passaggio 3.16.1

Riordina i fattori di $\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (6 x - 5)$ .

$(6 x - 5) \frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |}$

Passaggio 3.16.2

Scomponi $x$ da $3 x^{2} - 5 x$ .

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Passaggio 3.16.2.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x) - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |}$

Passaggio 3.16.2.2

Scomponi $x$ da $- 5 x$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x) + x \cdot - 5}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |}$

Passaggio 3.16.2.3

Scomponi $x$ da $x (3 x) + x \cdot - 5$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |}$

Passaggio 3.16.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2} - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.1.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| {(x (3 x) - 5 x)}^{2} |}$

Passaggio 3.16.3.1.2

Scomponi $x$ da $- 5 x$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| {(x (3 x) + x \cdot - 5)}^{2} |}$

Passaggio 3.16.3.1.3

Scomponi $x$ da $x (3 x) + x \cdot - 5$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| {(x (3 x - 5))}^{2} |}$

Passaggio 3.16.3.2

Applica la regola del prodotto a $x (3 x - 5)$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} {(3 x - 5)}^{2} |}$

Passaggio 3.16.3.3

Riscrivi ${(3 x - 5)}^{2}$ come $(3 x - 5) (3 x - 5)$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} ((3 x - 5) (3 x - 5)) |}$

Passaggio 3.16.3.4

Espandi $(3 x - 5) (3 x - 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.16.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 x (3 x - 5) - 5 (3 x - 5)) |}$

Passaggio 3.16.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x - 5)) |}$

Passaggio 3.16.3.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

Passaggio 3.16.3.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.16.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.16.3.5.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

Passaggio 3.16.3.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.16.3.5.1.2.1

Sposta $x$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

Passaggio 3.16.3.5.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

Passaggio 3.16.3.5.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

Passaggio 3.16.3.5.1.4

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

Passaggio 3.16.3.5.1.5

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 15 x - 5 \cdot - 5) |}$

Passaggio 3.16.3.5.1.6

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 15 x + 25) |}$

Passaggio 3.16.3.5.2

Sottrai $15 x$ da $- 15 x$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 30 x + 25) |}$

Passaggio 3.16.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25 |}$

Passaggio 3.16.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.7.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25 |}$

Passaggio 3.16.3.7.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{2} x^{2} - 30 x^{2} x + x^{2} \cdot 25 |}$

Passaggio 3.16.3.7.3

Sposta $25$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{2} x^{2} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2} |}$

Passaggio 3.16.3.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.8.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.8.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 (x^{2} x^{2}) - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2} |}$

Passaggio 3.16.3.8.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{2 + 2} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2} |}$

Passaggio 3.16.3.8.1.3

Somma $2$ e $2$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2} |}$

Passaggio 3.16.3.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.8.2.1

Sposta $x$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 (x \cdot x^{2}) + 25 \cdot x^{2} |}$

Passaggio 3.16.3.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 (x^{1} x^{2}) + 25 \cdot x^{2} |}$

Passaggio 3.16.3.8.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 x^{1 + 2} + 25 \cdot x^{2} |}$

Passaggio 3.16.3.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 \cdot x^{2} |}$

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 x^{2} |}$

Passaggio 3.16.3.9

Scomponi $x^{2}$ da $9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.9.1

Scomponi $x^{2}$ da $9 x^{4}$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2}) - 30 x^{3} + 25 x^{2} |}$

Passaggio 3.16.3.9.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 30 x^{3}$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x) + 25 x^{2} |}$

Passaggio 3.16.3.9.3

Scomponi $x^{2}$ da $25 x^{2}$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25 |}$

Passaggio 3.16.3.9.4

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x)$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 30 x) + x^{2} \cdot 25 |}$

Passaggio 3.16.3.9.5

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (9 x^{2} - 30 x) + x^{2} \cdot 25$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 30 x + 25) |}$

Passaggio 3.16.3.10

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.16.3.10.1

Riscrivi $9 x^{2}$ come ${(3 x)}^{2}$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 30 x + 25) |}$

Passaggio 3.16.3.10.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 30 x + 5^{2}) |}$

Passaggio 3.16.3.10.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$30 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 5$

Passaggio 3.16.3.10.4

Riscrivi il polinomio.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 5 + 5^{2}) |}$

Passaggio 3.16.3.10.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = 3 x$ e $b = 5$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} {(3 x - 5)}^{2} |}$

Passaggio 3.16.4

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{x^{2} {(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.16.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2} {(3 x - 5)}^{2}$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{x (x {(3 x - 5)}^{2})}$

Passaggio 3.16.5.2

Elimina il fattore comune.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{x (x {(3 x - 5)}^{2})}$

Passaggio 3.16.5.3

Riscrivi l'espressione.

$(6 x - 5) \frac{3 x - 5}{x {(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.16.6

Elimina il fattore comune di $3 x - 5$ e ${(3 x - 5)}^{2}$ .

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Passaggio 3.16.6.1

Moltiplica per $1$ .

$(6 x - 5) \frac{(3 x - 5) \cdot 1}{x {(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.16.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.6.2.1

Scomponi $3 x - 5$ da $x {(3 x - 5)}^{2}$ .

$(6 x - 5) \frac{(3 x - 5) \cdot 1}{(3 x - 5) (x (3 x - 5))}$

Passaggio 3.16.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$(6 x - 5) \frac{(3 x - 5) \cdot 1}{(3 x - 5) (x (3 x - 5))}$

Passaggio 3.16.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(6 x - 5) \frac{1}{x (3 x - 5)}$

Passaggio 3.16.7

Moltiplica $6 x - 5$ per $\frac{1}{x (3 x - 5)}$ .

$\frac{6 x - 5}{x (3 x - 5)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{6 x - 5}{x (3 x - 5)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 5}{x (3 x - 5)}$