Calcolo Esempi

$y = x^{2} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 4 - 6 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - 6 x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - 6 x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{2} (\frac{{(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.7.3

Sposta ${(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.7.4

$\frac{1}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.11

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.12

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.12.1

$- 6$ e $\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.12.2

Scomponi $3$ da $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.13.1

Scomponi $3$ da $3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 ({(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2) x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (2 x) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.16

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.16.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.16.2

$- 2$ e $\frac{2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 2 (2 x^{2})}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.16.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.16.4

$\frac{- 4 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{- 4 x^{2} x}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.17

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 (x^{1} x^{2})}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.18

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 x^{1 + 2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.19

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.19.1

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.19.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(4) x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.20

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} (2 x)$

Passaggio 3.21

Riordina.

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Passaggio 3.21.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} x$

Passaggio 3.21.2

Sposta ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 3.22

Per scrivere $2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}} {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.23

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}} {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.24

Moltiplica ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.24.1

Sposta ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x ({(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}} {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}})}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.24.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.24.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.24.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.24.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{1}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.25

Semplifica $2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x (- 6 x^{2} + 4)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26

Semplifica.

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Passaggio 3.26.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x (- 6 x^{2}) + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.26.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.26.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.26.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 (x^{2} x) + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.2.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.26.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.2.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.2.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 x^{3} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$\frac{- 4 x^{3} - 12 x^{3} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.2.1.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{- 4 x^{3} - 12 x^{3} + 8 x}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.2.2

Sottrai $12 x^{3}$ da $- 4 x^{3}$ .

$\frac{- 16 x^{3} + 8 x}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.3

Scomponi $8 x$ da $- 16 x^{3} + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.26.3.1

Scomponi $8 x$ da $- 16 x^{3}$ .

$\frac{8 x (- 2 x^{2}) + 8 x}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.3.2

Scomponi $8 x$ da $8 x$ .

$\frac{8 x (- 2 x^{2}) + 8 x (1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.3.3

Scomponi $8 x$ da $8 x (- 2 x^{2}) + 8 x (1)$ .

$\frac{8 x (- 2 x^{2} + 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{8 x (- (2 x^{2}) + 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.5

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{8 x (- (2 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.6

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{8 x (- (2 x^{2} - 1))}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.7

Riscrivi $- (2 x^{2} - 1)$ come $- 1 (2 x^{2} - 1)$ .

$\frac{8 x (- 1 (2 x^{2} - 1))}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(8 x) (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.26.9

Riordina i fattori in $- \frac{(8 x) (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{8 x (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{8 x (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$