Calcolo Esempi

$y = x^{3} \sqrt{x^{2} + 3}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 3}$ come ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 3$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 3$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{3} (\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.7.3

Sposta ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.7.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.11.2

$2$ e $\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.11.3

$\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x^{3} x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{3})}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 3}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.14

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 4.14.1

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{2 x^{4}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{4}}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

Passaggio 4.16

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Passaggio 4.17

Combina $\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ usando un comune denominatore.

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Passaggio 4.17.1

Sposta ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.17.2

Per scrivere $3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{4}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.18

Moltiplica ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.18.1

Sposta ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} ({(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.18.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.18.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.18.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19

Semplifica $3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20

Semplifica.

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Passaggio 4.20.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.20.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.20.2.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.20.2.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{x^{4} + 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.2.1.1.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.2.1.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{4} + 9 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.2.2

Somma $x^{4}$ e $3 x^{4}$ .

$\frac{4 x^{4} + 9 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.3

Scomponi $x^{2}$ da $4 x^{4} + 9 x^{2}$ .

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Passaggio 4.20.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $4 x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{2}) + 9 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.3.2

Scomponi $x^{2}$ da $9 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} \cdot 9}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20.3.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} \cdot 9$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{x^{2} (4 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (4 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$