Calcolo Esempi

$y = x^{5} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{5} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 3.2.4

$x^{5}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 3.2.5

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 3.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 3.2.5.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 3.2.5.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 3.2.5.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 3.2.5.2.5

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - 3 (\frac{1}{3}) x^{2}$

Passaggio 3.3.4

$- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- 3}{3} x^{2}$

Passaggio 3.3.5

$\frac{- 3}{3}$ e $x^{2}$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Passaggio 3.3.6

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

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Passaggio 3.3.6.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{3 (- x^{2})}{3}$

Passaggio 3.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)}$

Passaggio 3.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) + \frac{- x^{2}}{1}$

Passaggio 3.3.6.2.4

Dividi $- x^{2}$ per $1$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}) - x^{2}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$x^{4} - x^{2} + 5 x^{4} \ln (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = x^{4} - x^{2} + 5 x^{4} \ln (x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{2} + 5 x^{4} \ln (x)$