Calcolo Esempi

$\sum_{i = 0}^{5} 32 {(\frac{3}{4})}^{i}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Nella formula della variabile $r$ , sostituisci $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ .

$r = \frac{32 {(\frac{3}{4})}^{i + 1}}{32 {(\frac{3}{4})}^{i}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{32 {(\frac{3}{4})}^{i + 1}}{32 {(\frac{3}{4})}^{i}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{i + 1}}{{(\frac{3}{4})}^{i}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{3}{4})}^{i + 1}$ e ${(\frac{3}{4})}^{i}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(\frac{3}{4})}^{i}$ da ${(\frac{3}{4})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{i} \frac{3}{4}}{{(\frac{3}{4})}^{i}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{i} \frac{3}{4}}{{(\frac{3}{4})}^{i} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{i} \frac{3}{4}}{{(\frac{3}{4})}^{i} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi $\frac{3}{4}$ per $1$ .

$r = \frac{3}{4}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ a $i$ in $32 {(\frac{3}{4})}^{i}$ .

$a = 32 {(\frac{3}{4})}^{0}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{4}$ .

$a = 32 \frac{3^{0}}{4^{0}}$

Passaggio 3.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 32 \frac{1}{4^{0}}$

Passaggio 3.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 32 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$a = 32 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$a = 32 \cdot 1$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $32$ per $1$ .

$a = 32$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$32 \frac{1 - {(\frac{3}{4})}^{6}}{1 - \frac{3}{4}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{3}{4})}^{6}}{1 - \frac{3}{4}}$ per $\frac{4}{4}$ .

$32 (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{4})}^{6}}{1 - \frac{3}{4}})$

Passaggio 5.1.2

Combina.

$32 \frac{4 (1 - {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$32 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{3}{4})}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{4}$ nel numeratore.

$32 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 3}{4})}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune.

$32 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 3}{4})}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$32 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$32 \frac{4 + 4 (- {(\frac{3}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{4}$ .

$32 \frac{4 + 4 (- \frac{3^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3^{6}}{4^{6}}$ nel numeratore.

$32 \frac{4 + 4 \frac{- 3^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.3.2

Scomponi $4$ da $4^{6}$ .

$32 \frac{4 + 4 \frac{- 3^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.3.3

Elimina il fattore comune.

$32 \frac{4 + 4 \frac{- 3^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$32 \frac{4 + \frac{- 3^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.4

Eleva $3$ alla potenza di $6$ .

$32 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 729}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.5

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$32 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.6

Moltiplica $- 1$ per $729$ .

$32 \frac{4 + \frac{- 729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$32 \frac{4 - \frac{729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.8

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1024}{1024}$ .

$32 \frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.9

$4$ e $\frac{1024}{1024}$ .

$32 \frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$32 \frac{\frac{4 \cdot 1024 - 729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.11.1

Moltiplica $4$ per $1024$ .

$32 \frac{\frac{4096 - 729}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.11.2

Sottrai $729$ da $4096$ .

$32 \frac{\frac{3367}{1024}}{4 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$32 \frac{\frac{3367}{1024}}{4 - 3}$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$32 \frac{\frac{3367}{1024}}{1}$

Passaggio 5.6

Dividi $\frac{3367}{1024}$ per $1$ .

$32 (\frac{3367}{1024})$

Passaggio 5.7

Elimina il fattore comune di $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Scomponi $32$ da $1024$ .

$32 \frac{3367}{32 (32)}$

Passaggio 5.7.2

Elimina il fattore comune.

$32 \frac{3367}{32 \cdot 32}$

Passaggio 5.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3367}{32}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3367}{32}$

Forma decimale:

$105.21875$

Forma numero misto:

$105 \frac{7}{32}$