Calcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{2})}^{i}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

Nella formula della variabile $r$ , sostituisci $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ e ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ da ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{- \frac{1}{2}}{1}$

Passaggio 2.2.2.4

Dividi $- \frac{1}{2}$ per $1$ .

$r = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Poiché $| r | < 1$ , la serie converge.

Passaggio 4

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ a $i$ in ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ .

$a = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

$a = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori del rapporto e del primo termine nella formula della somma.

$\frac{- \frac{1}{2}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $- - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 1}{2}}$

Passaggio 6.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{2} (1 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 6.4

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Passaggio 6.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Passaggio 6.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{3}$

Forma decimale:

$- 0.\overline{3}$