Calcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{2}{3^{i}}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Nella formula della variabile $r$ , sostituisci $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ .

$r = \frac{\frac{2}{3^{i + 1}}}{\frac{2}{3^{i}}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$r = \frac{2}{3^{i + 1}} \cdot \frac{3^{i}}{2}$

Passaggio 2.2.2

Combina.

$r = \frac{2 \cdot 3^{i}}{3^{i + 1} \cdot 2}$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{2 \cdot 3^{i}}{3^{i + 1} \cdot 2}$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{3^{i}}{3^{i + 1}}$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di $3^{i}$ e $3^{i + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Scomponi $3^{i + 1}$ da $3^{i}$ .

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1}}$

Passaggio 2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{3^{i - (i + 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.4.2.4

Dividi $3^{i - (i + 1)}$ per $1$ .

$r = 3^{i - (i + 1)}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = 3^{i - i - 1 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$r = 3^{i - i - 1}$

Passaggio 2.2.6

Sottrai $i$ da $i$ .

$r = 3^{0 - 1}$

Passaggio 2.2.7

Sottrai $1$ da $0$ .

$r = 3^{- 1}$

Passaggio 2.2.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Poiché $| r | < 1$ , la serie converge.

Passaggio 4

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ a $i$ in $\frac{2}{3^{i}}$ .

$a = \frac{2}{3^{1}}$

Passaggio 4.2

Calcola l'esponente.

$a = \frac{2}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori del rapporto e del primo termine nella formula della somma.

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Passaggio 6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

Passaggio 6.2.3

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2}{3} (1 (\frac{3}{2}))$

Passaggio 6.4

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 6.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \cdot 3$

Passaggio 6.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 6.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \cdot 3$

Passaggio 6.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1$