Calcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{9} {(- \frac{1}{4})}^{i}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

Nella formula della variabile $r$ , sostituisci $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di ${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ e ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ da ${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{- \frac{1}{4}}{1}$

Passaggio 2.2.2.4

Dividi $- \frac{1}{4}$ per $1$ .

$r = - \frac{1}{4}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 3.1

Sostituisci $1$ a $i$ in ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ .

$a = {(- \frac{1}{4})}^{1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

$a = - \frac{1}{4}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - {(- \frac{1}{4})}^{9}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 5.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{4})}^{9})}{1 - - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{1^{9}}{4^{9}})}{1 - - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{9}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.2.1

Sposta ${(- 1)}^{9}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{9}$ per $- 1$ .

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Passaggio 5.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.1.2.3

Somma $9$ e $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $10$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $\frac{1^{9}}{4^{9}}$ per $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.1.6

Eleva $4$ alla potenza di $9$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.1.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144}{262144} + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144 + 1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.1.9

Somma $262144$ e $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- - \frac{1}{4}$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + 1 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4 + 1}{4}}$

Passaggio 5.2.4

Somma $4$ e $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{5}{4}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{4} (\frac{262145}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $5$ da $262145$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{5 (52429)}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{4} (\frac{5 \cdot 52429}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{262144} \cdot 4)$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $4$ da $262144$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 (65536)} \cdot 4)$

Passaggio 5.5.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 \cdot 65536} \cdot 4)$

Passaggio 5.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$

Passaggio 5.6

Moltiplica $- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$ .

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Passaggio 5.6.1

Moltiplica $\frac{52429}{65536}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{52429}{65536 \cdot 4}$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $65536$ per $4$ .

$- \frac{52429}{262144}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{52429}{262144}$

Forma decimale:

$- 0.20000076 \dots$