Calcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{9} {(\frac{1}{3})}^{i}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

Nella formula della variabile $r$ , sostituisci $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 1}}{{(\frac{1}{3})}^{i}}$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{1}{3})}^{i + 1}$ e ${(\frac{1}{3})}^{i}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi ${(\frac{1}{3})}^{i}$ da ${(\frac{1}{3})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{i}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{i} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{i} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

Passaggio 2.2.2.4

Dividi $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$r = \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $1$ a $i$ in ${(\frac{1}{3})}^{i}$ .

$a = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

$a = \frac{1}{3}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{9}}{1 - \frac{1}{3}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $3$ .

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{9}}{1 - \frac{1}{3}}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{9}}{1 - \frac{1}{3}})$

Passaggio 5.1.2

Combina.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{9})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{9})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{9})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{9})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{9})}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.4.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{9})}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{1^{9}}{3^{9}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1^{9}}{3^{9}}$ nel numeratore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{9}}{3^{9}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.2

Scomponi $3$ da $3^{9}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{9}}{3 \cdot 3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{9}}{3 \cdot 3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1^{9}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.5

Eleva $3$ alla potenza di $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \frac{1}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.8

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6561}{6561}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot \frac{6561}{6561} - \frac{1}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.9

$3$ e $\frac{6561}{6561}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 6561}{6561} - \frac{1}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 6561 - 1}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.4.11.1

Moltiplica $3$ per $6561$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{19683 - 1}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.11.2

Sottrai $1$ da $19683$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{19682}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.5.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{19682}{6561}}{3 - 1}$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{19682}{6561}}{2}$

Passaggio 5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{3} (\frac{19682}{6561} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 5.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.7.1

Scomponi $2$ da $19682$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 (9841)}{6561} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 5.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 9841}{6561} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 5.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{9841}{6561}$

Passaggio 5.8

Moltiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{9841}{6561}$ .

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Passaggio 5.8.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{9841}{6561}$ .

$\frac{9841}{3 \cdot 6561}$

Passaggio 5.8.2

Moltiplica $3$ per $6561$ .

$\frac{9841}{19683}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{9841}{19683}$

Forma decimale:

$0.49997459 \dots$