Calcolo Esempi

$\sum_{i = 3}^{13} {(i - 3)}^{2}$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(i - 3)}^{2}$ come $(i - 3) (i - 3)$ .

$(i - 3) (i - 3)$

Passaggio 1.2

Espandi $(i - 3) (i - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$i (i - 3) - 3 (i - 3)$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 (i - 3)$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $i$ per $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $i$ .

$i^{2} - 3 \cdot i - 3 i - 3 \cdot - 3$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$i^{2} - 3 i - 3 i + 9$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $3 i$ da $- 3 i$ .

$i^{2} - 6 i + 9$

Passaggio 1.4

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria per rendere il valore iniziale di $i$ uguale a $1$ .

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 - \sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9$ .

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Passaggio 3.1

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 \sum_{k = 1}^{13} i + \sum_{k = 1}^{13} 9$

Passaggio 3.2

Calcola $\sum_{k = 1}^{13} i^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci i valori nella formula.

$\frac{13 (13 + 1) (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Somma $13$ e $1$ .

$\frac{13 \cdot 14 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Passaggio 3.2.3.1.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.2.1

Moltiplica $13$ per $14$ .

$\frac{182 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Passaggio 3.2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $13$ .

$\frac{182 (26 + 1)}{6}$

Passaggio 3.2.3.1.3

Somma $26$ e $1$ .

$\frac{182 \cdot 27}{6}$

Passaggio 3.2.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Moltiplica $182$ per $27$ .

$\frac{4914}{6}$

Passaggio 3.2.3.2.2

Dividi $4914$ per $6$ .

$819$

Passaggio 3.3

Calcola $6 \sum_{k = 1}^{13} i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 3.3.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- 6) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Passaggio 3.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Somma $13$ e $1$ .

$- 6 \frac{13 \cdot 14}{2}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Moltiplica $13$ per $14$ .

$- 6 (\frac{182}{2})$

Passaggio 3.3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$2 (- 3) \frac{182}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 3 \frac{182}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 \cdot 182$

Passaggio 3.3.3.3

Moltiplica $- 3$ per $182$ .

$- 546$

Passaggio 3.4

Calcola $\sum_{k = 1}^{13} 9$ .

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Passaggio 3.4.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 3.4.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(9) (13)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $9$ per $13$ .

$117$

Passaggio 3.5

Somma i risultati delle sommatorie.

$819 - 546 + 117$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sottrai $546$ da $819$ .

$273 + 117$

Passaggio 3.6.2

Somma $273$ e $117$ .

$390$

Passaggio 4

Calcola $\sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Espandi la serie per ciascun valore di $i$ .

$1^{2} - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$1 - 6 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $6$ da $1$ .

$- 5 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Passaggio 4.2.4

Somma $- 5$ e $9$ .

$4 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Passaggio 4.2.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 + 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$4 + 4 - 12 + 9$

Passaggio 4.2.7

Sottrai $12$ da $4$ .

$4 - 8 + 9$

Passaggio 4.2.8

Somma $- 8$ e $9$ .

$4 + 1$

Passaggio 4.2.9

Somma $4$ e $1$ .

$5$

Passaggio 5

Sostituisci le sommatorie con i valori trovati.

$390 - 5$

Passaggio 6

Sottrai $5$ da $390$ .

$385$