Calcolo Esempi

$\sum_{j = 3}^{5} \frac{1}{j^{2} - 3}$

Passaggio 1

Espandi la serie per ciascun valore di $j$ .

$\frac{1}{3^{2} - 3} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{3^{2} - 3}$ per $\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{1}{3^{2} - 3} \cdot \frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{3^{2} - 3}$ per $\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{4^{2} - 3}$ per $\frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{4^{2} - 3} \cdot \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $\frac{1}{4^{2} - 3}$ per $\frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $\frac{1}{5^{2} - 3}$ per $\frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{5^{2} - 3} \cdot \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $\frac{1}{5^{2} - 3}$ per $\frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

Passaggio 2.1.7

Riordina i fattori di $(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

Passaggio 2.1.8

Riordina i fattori di $(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

Passaggio 2.1.9

Riordina i fattori di $(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(16 - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $3$ da $16$ .

$\frac{13 (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.3.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{13 (25 - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.3.4

Sottrai $3$ da $25$ .

$\frac{13 \cdot 22 + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $13$ per $22$ .

$\frac{286 + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.3.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{286 + (9 - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.3.7

Sottrai $3$ da $9$ .

$\frac{286 + 6 (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.3.8

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{286 + 6 (25 - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.3.9

Sottrai $3$ da $25$ .

$\frac{286 + 6 \cdot 22 + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.3.10

Moltiplica $6$ per $22$ .

$\frac{286 + 132 + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.3.11

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{286 + 132 + (9 - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.3.12

Sottrai $3$ da $9$ .

$\frac{286 + 132 + 6 (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.3.13

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{286 + 132 + 6 (16 - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.3.14

Sottrai $3$ da $16$ .

$\frac{286 + 132 + 6 \cdot 13}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.3.15

Moltiplica $6$ per $13$ .

$\frac{286 + 132 + 78}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.4

Somma $286$ e $132$ .

$\frac{418 + 78}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.5

Somma $418$ e $78$ .

$\frac{496}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{496}{(9 - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $3$ da $9$ .

$\frac{496}{6 (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.6.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{496}{6 (16 - 3) (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.6.4

Sottrai $3$ da $16$ .

$\frac{496}{6 \cdot 13 (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.6.5

Moltiplica $6$ per $13$ .

$\frac{496}{78 (5^{2} - 3)}$

Passaggio 2.6.6

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{496}{78 (25 - 3)}$

Passaggio 2.6.7

Sottrai $3$ da $25$ .

$\frac{496}{78 \cdot 22}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $78$ per $22$ .

$\frac{496}{1716}$

Passaggio 2.8

Elimina il fattore comune di $496$ e $1716$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Scomponi $4$ da $496$ .

$\frac{4 (124)}{1716}$

Passaggio 2.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Scomponi $4$ da $1716$ .

$\frac{4 \cdot 124}{4 \cdot 429}$

Passaggio 2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 124}{4 \cdot 429}$

Passaggio 2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{124}{429}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{124}{429}$

Forma decimale:

$0.\overline{289044}$