Calcolo Esempi

$y = \sqrt{e^{x} + 7}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{e^{x} + 7}$ come ${(e^{x} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(e^{x} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(e^{x} + 7)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = e^{x} + 7$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $e^{x} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{x} + 7]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 7]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x} + 7$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 7]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 7]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 7]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 7]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 7]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 7]$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola della somma.

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Passaggio 4.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 7]$

Passaggio 4.6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.6.2.1

$\frac{1}{2}$ e ${(e^{x} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(e^{x} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 7]$

Passaggio 4.6.2.2

Sposta ${(e^{x} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 7]$

Passaggio 4.6.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 4.8

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.8.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + 0)$

Passaggio 4.8.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.8.2.1

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 7)}^{\frac{1}{2}}} e^{x}$

Passaggio 4.8.2.2

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(e^{x} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{e^{x}}{2 {(e^{x} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{2 {(e^{x} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$