Calcolo Esempi

$y = \sqrt{\frac{x}{x + 8}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{x}{x + 8}}$ come ${(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \frac{x}{x + 8}$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{x + 8}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{x + 8}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Passaggio 4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 8$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 8) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 8]}{{(x + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Differenzia.

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Passaggio 4.8.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 8) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 8]}{{(x + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $x + 8$ per $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x \frac{d}{d x} [x + 8]}{{(x + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.8.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(x + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.8.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x (1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(x + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.8.5

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x (1 + 0)}{{(x + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.8.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.8.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x \cdot 1}{{(x + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.8.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x}{{(x + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.8.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 8}{{(x + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.8.6.4

Somma $0$ e $8$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{8}{{(x + 8)}^{2}}$

Passaggio 4.8.6.5

Moltiplica $\frac{8}{{(x + 8)}^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{{(x + 8)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.8.6.6

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 8)}^{2}$ .

$\frac{8}{2 \cdot {(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.8.6.7

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

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Passaggio 4.8.6.7.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.8.6.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.8.6.7.2.1

Scomponi $2$ da $2 {(x + 8)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 ({(x + 8)}^{2})} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.8.6.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.8.6.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.9

Semplifica.

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Passaggio 4.9.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}} {(\frac{x + 8}{x})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.9.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{x + 8}{x}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.9.3.1

Moltiplica $\frac{4}{{(x + 8)}^{2}}$ per $\frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 8)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.2

Sposta ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2} x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.3

Moltiplica ${(x + 8)}^{2}$ per ${(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.9.3.3.1

Sposta ${(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 8)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2} + 2} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.3.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.3.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.9.3.3.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.3.3.6.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.9.4

Riordina i termini.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{4}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$