Calcolo Esempi

$y^{3} = e^{x} \ln (x^{2} - 1)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{3}) = \frac{d}{d x} (e^{x} \ln (x^{2} - 1))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln (x^{2} - 1)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)] + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$e^{x} (\frac{1}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

$\frac{1}{x^{2} - 1}$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (2 x) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.5.2

$2$ e $\frac{e^{x}}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2 e^{x}}{x^{2} - 1} x + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.5.3

$\frac{2 e^{x}}{x^{2} - 1}$ e $x$ .

$\frac{2 e^{x} x}{x^{2} - 1} + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{2 e^{x} x}{x^{2} - 1} + \ln (x^{2} - 1) e^{x}$

Passaggio 3.5

Per scrivere $\ln (x^{2} - 1) e^{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2 e^{x} x}{x^{2} - 1} + \frac{\ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

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Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.7.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.7.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.7.1.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\ln (x^{2} - 1) e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - 1 \cdot (\ln (x^{2} - 1) e^{x})}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.7.1.1.3

Riscrivi $- 1 (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ come $- (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ .

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.7.1.2

Riordina i fattori in $2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} + x^{2} e^{x} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.7.2

Riordina i termini.

$\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 y^{2} y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Passaggio 5

Dividi per $3 y^{2}$ ciascun termine in $3 y^{2} y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $3 y^{2}$ ciascun termine in $3 y^{2} y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{3 y^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.3.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{1}{3 y^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{3 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ per $\frac{1}{3 y^{2}}$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1) (3 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.2

Riordina.

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Passaggio 5.3.3.2.1

Sposta $3$ alla sinistra di $(x + 1) (x - 1)$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{3 \cdot ((x + 1) (x - 1)) y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Riordina i fattori in $\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{3 (x + 1) (x - 1) y^{2}}$ .

$y' = \frac{2 x e^{x} + x^{2} \ln (x^{2} - 1) e^{x} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}}{3 y^{2} (x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x e^{x} + x^{2} \ln (x^{2} - 1) e^{x} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}}{3 y^{2} (x + 1) (x - 1)}$