Calcolo Esempi

$x^{4} - x^{2} y + y^{4} = 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{4} - x^{2} y + y^{4}) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - x^{2} y + y^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2} y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$4 x^{3} - (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 x^{3} - (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$4 x^{3} - (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$4 x^{3} - (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} - (x^{2} y' + 2 y x) + 4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 x^{3} - (x^{2} y' + 2 y x) + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 x^{3} - (x^{2} y' + 2 y x) + 4 y^{3} y'$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{3} - (x^{2} y') - (2 y x) + 4 y^{3} y'$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 x^{3} - x^{2} y' - 2 y x + 4 y^{3} y'$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$4 x^{3} - x^{2} y' - 2 x y + 4 y^{3} y'$

Passaggio 3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$4 x^{3} - x^{2} y' - 2 x y + 4 y^{3} y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $4 x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} y' - 2 x y + 4 y^{3} y' = - 4 x^{3}$

Passaggio 5.1.2

Somma $2 x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} y' + 4 y^{3} y' = - 4 x^{3} + 2 x y$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $- x^{2} y' + 4 y^{3} y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $- x^{2} y'$ .

$y' (- x^{2}) + 4 y^{3} y' = - 4 x^{3} + 2 x y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $4 y^{3} y'$ .

$y' (- x^{2}) + y' (4 y^{3}) = - 4 x^{3} + 2 x y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (- x^{2}) + y' (4 y^{3})$ .

$y' (- x^{2} + 4 y^{3}) = - 4 x^{3} + 2 x y$

Passaggio 5.3

Dividi per $- x^{2} + 4 y^{3}$ ciascun termine in $y' (- x^{2} + 4 y^{3}) = - 4 x^{3} + 2 x y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $- x^{2} + 4 y^{3}$ ciascun termine in $y' (- x^{2} + 4 y^{3}) = - 4 x^{3} + 2 x y$ .

$\frac{y' (- x^{2} + 4 y^{3})}{- x^{2} + 4 y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{- x^{2} + 4 y^{3}} + \frac{2 x y}{- x^{2} + 4 y^{3}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- x^{2} + 4 y^{3}$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- x^{2} + 4 y^{3})}{- x^{2} + 4 y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{- x^{2} + 4 y^{3}} + \frac{2 x y}{- x^{2} + 4 y^{3}}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{- x^{2} + 4 y^{3}} + \frac{2 x y}{- x^{2} + 4 y^{3}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 2 x y}{- x^{2} + 4 y^{3}}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $2 x$ da $- 4 x^{3} + 2 x y$ .

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Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $2 x$ da $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 x (- 2 x^{2}) + 2 x y}{- x^{2} + 4 y^{3}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scomponi $2 x$ da $2 x y$ .

$y' = \frac{2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (y)}{- x^{2} + 4 y^{3}}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (y)$ .

$y' = \frac{2 x (- 2 x^{2} + y)}{- x^{2} + 4 y^{3}}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 x (- (2 x^{2}) + y)}{- x^{2} + 4 y^{3}}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$y' = \frac{2 x (- (2 x^{2}) - 1 (- y))}{- x^{2} + 4 y^{3}}$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{2}) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{2 x (- (2 x^{2} - y))}{- x^{2} + 4 y^{3}}$

Passaggio 5.3.3.6

Riscrivi $- (2 x^{2} - y)$ come $- 1 (2 x^{2} - y)$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 (2 x^{2} - y))}{- x^{2} + 4 y^{3}}$

Passaggio 5.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 (2 x^{2} - y))}{- (x^{2}) + 4 y^{3}}$

Passaggio 5.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $4 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 (2 x^{2} - y))}{- (x^{2}) - (- 4 y^{3})}$

Passaggio 5.3.3.9

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 4 y^{3})$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 (2 x^{2} - y))}{- (x^{2} - 4 y^{3})}$

Passaggio 5.3.3.10

Riscrivi $- (x^{2} - 4 y^{3})$ come $- 1 (x^{2} - 4 y^{3})$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 (2 x^{2} - y))}{- 1 (x^{2} - 4 y^{3})}$

Passaggio 5.3.3.11

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 x (- 1 (2 x^{2} - y))}{- 1 (x^{2} - 4 y^{3})}$

Passaggio 5.3.3.12

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y)}{x^{2} - 4 y^{3}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (2 x^{2} - y)}{x^{2} - 4 y^{3}}$