Calcolo Esempi

$x y - \cos (x y) = 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x y - \cos (x y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y - \cos (x y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \cos (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \cos (x y)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x y)]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x y)]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x y)]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- \cos (x y)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x y)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

$x y' + y - \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$x y' + y - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$x y' + y - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$x y' + y - (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x y' + y - (- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y - (- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y - (- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1))$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x y' + y - (- \sin (x y) (x y' + y))$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x y' + y + 1 (\sin (x y) (x y' + y))$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $\sin (x y)$ per $1$ .

$x y' + y + \sin (x y) (x y' + y)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x y' + y + \sin (x y) (x y') + \sin (x y) y$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$x y' + x \sin (x y) y' + y \sin (x y) + y$

Passaggio 3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x y' + x \sin (x y) y' + y \sin (x y) + y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $x y' + x \sin (x y) y' + y \sin (x y) + y$ .

$x y' + x y' \sin (x y) + y \sin (x y) + y = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $y \sin (x y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + x y' \sin (x y) + y = - y \sin (x y)$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - y$

Passaggio 5.3

Scomponi $x y'$ da $x y' + x y' \sin (x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $x y'$ da $x y'$ .

$x y' \cdot 1 + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x y'$ da $x y' \sin (x y)$ .

$x y' \cdot 1 + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x y'$ da $x y' \cdot 1 + x y' \sin (x y)$ .

$x y' (1 + \sin (x y)) = - y \sin (x y) - y$

Passaggio 5.4

Dividi per $x (1 + \sin (x y))$ ciascun termine in $x y' (1 + \sin (x y)) = - y \sin (x y) - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $x (1 + \sin (x y))$ ciascun termine in $x y' (1 + \sin (x y)) = - y \sin (x y) - y$ .

$\frac{x y' (1 + \sin (x y))}{x (1 + \sin (x y))} = \frac{- y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \sin (x y))}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (1 + \sin (x y))}{x (1 + \sin (x y))} = \frac{- y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \sin (x y))}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (1 + \sin (x y))}{1 + \sin (x y)} = \frac{- y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \sin (x y))}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $1 + \sin (x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (1 + \sin (x y))}{1 + \sin (x y)} = \frac{- y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \sin (x y))}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \sin (x y))}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \sin (x y))}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} - \frac{y}{x (1 + \sin (x y))}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} - \frac{y}{x (1 + \sin (x y))}$