Calcolo Esempi

$y = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x) + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 4.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (3 x + 2) x^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (3 x + 2)]$

Passaggio 4.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 2} (3 x + 2)]$

Passaggio 4.3.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (3 x + 2)]$

Passaggio 4.3.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (3 x + 2)]$

Passaggio 4.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (3 x + 2)]$

Passaggio 4.3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (3 x + 2)]$

Passaggio 4.3.6.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} (3 x + 2)]$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = 3 x + 2$ .

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 2] + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.5

Differenzia.

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Passaggio 4.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.5.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.5.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.5.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 + 0) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.5.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.5.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 3 + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.5.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 \cdot x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.5.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 4.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 4.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Passaggio 4.9.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.10

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.11

Semplifica.

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Passaggio 4.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{\frac{3}{2}} + 3 x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.11.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.11.2.1

$3$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + x \frac{3 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.11.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + x \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.11.2.3

$x$ e $\frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x (9 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.11.2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.11.2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.11.2.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.11.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.11.2.8

Somma $2$ e $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.11.2.9

$2$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 4.11.2.10

Moltiplica $3$ per $2$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.11.2.11

Scomponi $2$ da $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 4.11.2.12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.11.2.12.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Passaggio 4.11.2.12.2

Elimina il fattore comune.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.11.2.12.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Passaggio 4.11.2.12.4

Dividi $3 x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.11.2.13

Per scrivere $3 x^{\frac{3}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.11.2.14

$3 x^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.11.2.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.11.2.16

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 x^{\frac{3}{2}} + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.11.2.17

Somma $6 x^{\frac{3}{2}}$ e $9 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.11.3

Riordina i termini.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$