Calcolo Esempi

$y = \frac{3 \cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 \cos (x)}{1 - \sin (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 \cos (x)}{1 - \sin (x)}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

$3 \frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$3 \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

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Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$3 \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$3 \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica.

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Passaggio 3.4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + 1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4.5.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$3 \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$3 \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$3 \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$3 \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9

Somma $1$ e $1$ .

$3 \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10

$3$ e $\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{3 ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11

Semplifica.

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Passaggio 3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (1 (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (1 (- \sin (x))) + 3 (- \sin (x) (- \sin (x))) + 3 \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.11.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.11.3.1.1

Moltiplica $- \sin (x)$ per $1$ .

$\frac{3 (- \sin (x)) + 3 (- \sin (x) (- \sin (x))) + 3 \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 3 \sin (x) + 3 (- \sin (x) (- \sin (x))) + 3 \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.3

Moltiplica $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Passaggio 3.11.3.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 3 \sin (x) + 3 (1 \sin (x) \sin (x)) + 3 \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.3.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{- 3 \sin (x) + 3 (\sin (x) \sin (x)) + 3 \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.3.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 3 \sin (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 3 \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.3.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 3 \sin (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 3 \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 3 \sin (x) + 3 {\sin (x)}^{1 + 1} + 3 \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 3 \sin (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.2

Scomponi $3$ da $3 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 3 \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.3

Scomponi $3$ da $3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 3 \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.4

Scomponi $3$ da $3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 3 \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- 3 \sin (x) + 3 \cdot 1}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{- 3 \sin (x) + 3}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.4

Riordina i termini.

$\frac{3 - 3 \sin (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.5

Scomponi $3$ da $3 - 3 \sin (x)$ .

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Passaggio 3.11.5.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (1) - 3 \sin (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.5.2

Scomponi $3$ da $- 3 \sin (x)$ .

$\frac{3 (1) + 3 (- \sin (x))}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.5.3

Scomponi $3$ da $3 (1) + 3 (- \sin (x))$ .

$\frac{3 (1 - \sin (x))}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.6

Elimina il fattore comune di $1 - \sin (x)$ e ${(1 - \sin (x))}^{2}$ .

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Passaggio 3.11.6.1

Scomponi $1 - \sin (x)$ da $3 (1 - \sin (x))$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cdot 3}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.11.6.2.1

Scomponi $1 - \sin (x)$ da ${(1 - \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cdot 3}{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Passaggio 3.11.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 - \sin (x)) \cdot 3}{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Passaggio 3.11.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{1 - \sin (x)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{3}{1 - \sin (x)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{1 - \sin (x)}$