Calcolo Esempi

$y = \frac{3 + 5 x - 8 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}}{x}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}}{x})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}] - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia.

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Passaggio 4.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{x (5 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2.7

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (5 - 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (5 - 8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.9

$- 8$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x (5 + \frac{- 8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (5 + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.11

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$\frac{x (5 + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.12.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (5 + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (5 + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (5 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x (5 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (5 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 4.15

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x (5 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16

Semplifica.

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Passaggio 4.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 5 + x (- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 5 + x (- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.16.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.16.3.1.1

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{5 \cdot x + x (- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{5 x - x \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.3

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{5 x - \frac{4 x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.4

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{5 x - (4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.16.3.1.5.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 x - (4 (x^{- \frac{1}{2}} x)) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.5.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 4.16.3.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 x - (4 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 x - (4 x^{- \frac{1}{2} + 1}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.5.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{5 x - (4 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 x - (4 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.5.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{5 x - (4 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{5 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{5 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.8

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{5 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 5 x - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.1.9

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$\frac{5 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 5 x + 8 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.2

Combina i termini opposti in $5 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 5 x + 8 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.16.3.2.1

Sottrai $5 x$ da $5 x$ .

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 0 + 8 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.2.2

Somma $- 4 x^{\frac{1}{2}} - 3$ e $0$ .

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 8 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 4.16.3.3

Somma $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ e $8 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{2}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{2}}$