Calcolo Esempi

$y = {(\frac{6 x + 9}{6 x - 9})}^{4}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{6 x + 9}{6 x - 9})}^{4})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $6 x + 9$ e $6 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x) + 9}{6 x - 9})}^{4}]$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x) + 3 (3)}{6 x - 9})}^{4}]$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $3$ da $3 (2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{6 x - 9})}^{4}]$

Passaggio 3.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) - 9})}^{4}]$

Passaggio 3.1.4.2

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) + 3 (- 3)})}^{4}]$

Passaggio 3.1.4.3

Scomponi $3$ da $3 (2 x) + 3 (- 3)$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{4}]$

Passaggio 3.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{4}]$

Passaggio 3.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{4}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$4 {(\frac{3 (2 x) + 9}{6 x - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Passaggio 3.2.3.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$4 {(\frac{3 (2 x) + 3 (3)}{6 x - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Passaggio 3.2.3.3

Scomponi $3$ da $3 (2 x) + 3 (3)$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{6 x - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Passaggio 3.2.3.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.4.1

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Passaggio 3.2.3.4.2

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) + 3 (- 3)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Passaggio 3.2.3.4.3

Scomponi $3$ da $3 (2 x) + 3 (- 3)$ .

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Passaggio 3.2.3.4.4

Elimina il fattore comune.

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Passaggio 3.2.3.4.5

Riscrivi l'espressione.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x + 3$ e $g (x) = 2 x - 3$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

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Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 + 0) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $2 x - 3$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 \cdot (2 x - 3) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.11

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 + 0)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.12

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.4.12.1

Somma $2$ e $0$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) \cdot 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.12.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.12.3

$\frac{2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)}{{(2 x - 3)}^{2}}$ e $4$ .

$\frac{(2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)) \cdot 4}{{(2 x - 3)}^{2}} {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3}$

Passaggio 3.4.12.4

Sposta $4$ alla sinistra di $2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)$ .

$\frac{4 \cdot (2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3))}{{(2 x - 3)}^{2}} {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ .

$\frac{4 (2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3))}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - 2 (2 x + 3))}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (2 (2 x)) + 4 (2 \cdot - 3) + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 (4 x) + 4 (2 \cdot - 3) + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{16 x + 4 (2 \cdot - 3) + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{16 x + 4 \cdot - 6 + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.4

Moltiplica $4$ per $- 6$ .

$\frac{16 x - 24 + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{16 x - 24 + 4 (- 4 x) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.6

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\frac{16 x - 24 - 16 x + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.7

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{16 x - 24 - 16 x + 4 \cdot - 6}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.8

Moltiplica $4$ per $- 6$ .

$\frac{16 x - 24 - 16 x - 24}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.9

Sottrai $16 x$ da $16 x$ .

$\frac{0 - 24 - 24}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.10

Sottrai $24$ da $0$ .

$\frac{- 24 - 24}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.11

Sottrai $24$ da $- 24$ .

$\frac{- 48}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{48}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.13

Moltiplica $\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$ per $\frac{48}{{(2 x - 3)}^{2}}$ .

$- \frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot 48}{{(2 x - 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5.5.14

Moltiplica ${(2 x - 3)}^{3}$ per ${(2 x - 3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.14.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot 48}{{(2 x - 3)}^{3 + 2}}$

Passaggio 3.5.5.14.2

Somma $3$ e $2$ .

$- \frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot 48}{{(2 x - 3)}^{5}}$

Passaggio 3.5.5.15

Sposta $48$ alla sinistra di ${(2 x + 3)}^{3}$ .

$- \frac{48 {(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{5}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{48 {(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{5}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{48 {(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{5}}$