Calcolo Esempi

$y = \frac{\cos (x)}{x^{3}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{x^{3}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 3.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - 3 \cos (x) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} (- \sin (x)) - 3 \cos (x) x^{2}$ .

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Passaggio 3.4.2.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} (- \sin (x))$ .

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x))) - 3 \cos (x) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 \cos (x) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x))) + x^{2} (- 3 \cos (x))}{x^{6}}$

Passaggio 3.4.2.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (x (- \sin (x))) + x^{2} (- 3 \cos (x))$ .

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{6}}$

Passaggio 3.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (- \sin (x)) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- x \sin (x) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Passaggio 3.6.2

Scomponi $- 1$ da $- x \sin (x)$ .

$\frac{- (x \sin (x)) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Passaggio 3.6.3

Scomponi $- 1$ da $- 3 \cos (x)$ .

$\frac{- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))}{x^{4}}$

Passaggio 3.6.4

Scomponi $- 1$ da $- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))$ .

$\frac{- (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

Passaggio 3.6.5

Riscrivi $- (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ come $- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ .

$\frac{- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

Passaggio 3.6.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$