Calcolo Esempi

$x^{2} + x y + y^{2} = 1 - x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (1 - x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x y + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 3.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = - 1$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + 2 y y' + y = - 1 - 2 x$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + 2 y y' = - 1 - 2 x - y$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $x y' + 2 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 1 - 2 x - y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 1 - 2 x - y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 1 - 2 x - y$

Passaggio 5.3

Dividi per $x + 2 y$ ciascun termine in $y' (x + 2 y) = - 1 - 2 x - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $x + 2 y$ ciascun termine in $y' (x + 2 y) = - 1 - 2 x - y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 1}{x + 2 y} + \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 1}{x + 2 y} + \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 1}{x + 2 y} + \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1}{x + 2 y} + \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1}{x + 2 y} - \frac{2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1}{x + 2 y} - \frac{2 x}{x + 2 y} - \frac{y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 1 - 2 x}{x + 2 y} - \frac{y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 1 - 2 x - y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - 2 x - y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (2 x) - y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (2 x)$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + 2 x) - y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.6

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + 2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1 + 2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + 2 x + y)}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1 + 2 x + y}{x + 2 y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + 2 x + y}{x + 2 y}$