Calcolo Esempi

$x \ln (y) + y \ln (x) = 2$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + y \ln (x)) = \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \ln (y) + y \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Passaggio 2.2.5

$\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Passaggio 2.2.6

$x$ e $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $\ln (y)$ per $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{1}{x} + \ln (x) y'$

Passaggio 2.3.4

$y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} + \ln (x) y'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x}$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica per $y x$ ciascun termine in $\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica ogni termine in $\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$ per $y x$ .

$\ln (x) y' (y x) + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$\ln (x) y' y x + \frac{x y'}{y} (y (x)) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.1.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) y' y x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.1.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) y' y x + x y' x + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.1.2.1.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' (x^{1} x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.1.2.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' (x^{1} x^{1}) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.1.2.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (x) y' y x + y' x^{1 + 1} + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.1.2.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.1.2.1.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.6.1

Scomponi $x$ da $y x$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + \frac{y}{x} (x y) = 0 (y x)$

Passaggio 5.1.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + \frac{y}{x} (x y) = 0 (y x)$

Passaggio 5.1.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y \cdot y = 0 (y x)$

Passaggio 5.1.2.1.7

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1} y = 0 (y x)$

Passaggio 5.1.2.1.8

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1} y^{1} = 0 (y x)$

Passaggio 5.1.2.1.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1 + 1} = 0 (y x)$

Passaggio 5.1.2.1.10

Somma $1$ e $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0 (y x)$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Moltiplica $0 (y x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Moltiplica $y$ per $0$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0 x$

Passaggio 5.1.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (x) y' y x + \ln (y) y x = - y' x^{2} - y^{2} + 0$

Passaggio 5.3

Riordina i fattori in $\ln (x) y' y x + \ln (y) y x$ .

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) = - y' x^{2} - y^{2} + 0$

Passaggio 5.4

Somma $- y' x^{2} - y^{2}$ e $0$ .

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) = - y' x^{2} - y^{2}$

Passaggio 5.5

Somma $y' x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) + y' x^{2} = - y^{2}$

Passaggio 5.6

Sottrai $y x \ln (y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' y x \ln (x) + y' x^{2} = - y^{2} - y x \ln (y)$

Passaggio 5.7

Scomponi $y' x$ da $y' y x \ln (x) + y' x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Scomponi $y' x$ da $y' y x \ln (x)$ .

$y' x (y \ln (x)) + y' x^{2} = - y^{2} - y x \ln (y)$

Passaggio 5.7.2

Scomponi $y' x$ da $y' x^{2}$ .

$y' x (y \ln (x)) + y' x \cdot x = - y^{2} - y x \ln (y)$

Passaggio 5.7.3

Scomponi $y' x$ da $y' x (y \ln (x)) + y' x \cdot x$ .

$y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$

Passaggio 5.8

Dividi per $x (y \ln (x) + x)$ ciascun termine in $y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Dividi per $x (y \ln (x) + x)$ ciascun termine in $y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$ .

$\frac{y' x (y \ln (x) + x)}{x (y \ln (x) + x)} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' x (y \ln (x) + x)}{x (y \ln (x) + x)} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y \ln (x) + x)}{y \ln (x) + x} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.2.2

Elimina il fattore comune di $y \ln (x) + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y \ln (x) + x)}{y \ln (x) + x} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$

Passaggio 5.8.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$

Passaggio 5.8.3.2

Per scrivere $- \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.8.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (y \ln (x) + x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.3.1

Moltiplica $\frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y) x}{(y \ln (x) + x) x}$

Passaggio 5.8.3.3.2

Riordina i fattori di $(y \ln (x) + x) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y^{2} - y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.5.1

Scomponi $y$ da $- y^{2} - y \ln (y) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.5.1.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) - y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.3.5.1.2

Scomponi $y$ da $- y \ln (y) x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (- 1 \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.3.5.1.3

Scomponi $y$ da $y (- y) + y (- 1 \ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (- y - 1 \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.3.5.2

Riscrivi $- 1 \ln (y)$ come $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (- y - \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.3.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.6.1

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) - \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.3.6.2

Scomponi $- 1$ da $- \ln (y) x$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (\ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.3.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (y) - (\ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (- (y + \ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.3.6.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.6.4.1

Riscrivi $- (y + \ln (y) x)$ come $- 1 (y + \ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y + \ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 5.8.3.6.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y (y + \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$