Calcolo Esempi

$x^{2} (x - y) = y^{2} (x + y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} (x - y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (x + y))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x - y] + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} (1 - y') + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (1 - y') + (x - y) (2 x)$

Passaggio 2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x - y$ .

$x^{2} (1 - y') + 2 \cdot (x - y) x$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 (x - y) x$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + (2 x + 2 (- y)) x$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

Passaggio 2.6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

Passaggio 2.6.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x) + 2 (- y) x$

Passaggio 2.6.4.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 (- y) x$

Passaggio 2.6.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{1 + 1} + 2 (- y) x$

Passaggio 2.6.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} + 2 (- y) x$

Passaggio 2.6.4.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} - 2 y x$

Passaggio 2.6.4.7

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- y') - 2 y x$

Passaggio 2.6.5

Riordina i termini.

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = x + y$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x + y$ .

$y^{2} (1 + y') + 2 \cdot (x + y) y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.6

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y^{2} (1 + y') + 2 (x + y) y y'$

Passaggio 3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 (x + y) y y'$

Passaggio 3.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x + 2 y) y y'$

Passaggio 3.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x y + 2 y \cdot y) y'$

Passaggio 3.7.4

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

Passaggio 3.7.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.5.1

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

Passaggio 3.7.5.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y) y'$

Passaggio 3.7.5.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y^{1}) y'$

Passaggio 3.7.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{1 + 1} y'$

Passaggio 3.7.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{2} y'$

Passaggio 3.7.5.6

Somma $y^{2} y'$ e $2 y^{2} y'$ .

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y = y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $y'$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' = 3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

Passaggio 5.2

Somma $x^{2} y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.3

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $2 x y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $x^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2}) + y' (2 x y)$ .

$y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 5.4.5

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2})$ .

$y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 5.5

Dividi per $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi per $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{(2) x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2

Riduci in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ e la cui somma è $b = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.3.1.1

Riordina i termini.

$y' = \frac{3 x^{2} - y^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.3.1.2

Riordina $- y^{2}$ e $- 2 x y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.3.1.3

Scomponi $- 2$ da $- 2 x y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.3.1.4

Riscrivi $- 2$ come $1$ più $- 3$ .

$y' = \frac{3 x^{2} + (1 - 3) (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{3 x^{2} + 1 (x y) - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.3.1.6

Moltiplica $x y$ per $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.3.1.7

Sposta le parentesi.

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.5.3.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y' = \frac{(3 x^{2} + x y) - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y' = \frac{x (3 x + y) - y (3 x + y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + y$ .

$y' = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$