Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{x + 2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{x + 2})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = 1$ e $g (y) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Moltiplica $x + 2$ per $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3.2

Sottrai $\frac{d}{d y} [x + 2]$ da $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$- \frac{\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$- \frac{x' + \frac{d}{d y} [2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- \frac{x' + 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Somma $x'$ e $0$ .

$- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = - \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ .

$- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$

Passaggio 5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$ per $1$ .

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = - 1$

Passaggio 5.3

Moltiplica ogni lato per ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = - {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 5.4

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = - {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 5.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = - {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 5.5

Semplifica $- {(x + 2)}^{2}$ .

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Passaggio 5.5.1

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$x' = - ((x + 2) (x + 2))$

Passaggio 5.5.2

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x' = - (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Passaggio 5.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x' = - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Passaggio 5.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x' = - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Passaggio 5.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x' = - (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Passaggio 5.5.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x' = - (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Passaggio 5.5.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x' = - (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Passaggio 5.5.3.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$x' = - (x^{2} + 4 x + 4)$

Passaggio 5.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$x' = - x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 4$

Passaggio 5.5.5

Semplifica.

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Passaggio 5.5.5.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$x' = - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4$

Passaggio 5.5.5.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$x' = - x^{2} - 4 x - 4$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - x^{2} - 4 x - 4$