Calcolo Esempi

${(y + x)}^{2} = \ln (y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(y + x)}^{2}) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(y + x)}^{2}$ come $(y + x) (y + x)$ .

$\frac{d}{d x} [(y + x) (y + x)]$

Passaggio 2.2

Espandi $(y + x) (y + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [y (y + x) + x (y + x)]$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y x + x (y + x)]$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y x + x y + x \cdot x]$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y x + x y + x \cdot x]$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y x + x y + x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Somma $y x$ e $x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Riordina $y$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + x y + x y + x^{2}]$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $x y$ e $x y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x y + x^{2}]$

Passaggio 2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + 2 x y + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.6

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 y y' + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.9

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.11

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y) + 2 x$

Passaggio 2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 y y' + 2 (x y') + 2 y + 2 x$

Passaggio 2.13.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 y y' + 2 x y' + 2 y + 2 x$

Passaggio 2.13.3

Riordina i termini.

$2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y = \frac{y'}{y}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$(2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y) y = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $(2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y) y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 y y' y + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.1.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1.1

Sposta $y$ .

$2 (y \cdot y) y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.1.1.2.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.2.1

Sposta $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 (y \cdot y) = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.1.1.2.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.1.1.3

Sposta $y^{2}$ .

$2 y' y^{2} + 2 x y' y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.1.1.4

Sposta $x$ .

$2 y' y^{2} + 2 y' x y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.1.1.5

Riordina $2 y' y^{2}$ e $2 y' x y$ .

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = y'$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} - y' = 0$

Passaggio 5.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 y^{2} - y' = - 2 x y$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai $2 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $2 y' x y + 2 y' y^{2} - y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $y'$ da $2 y' x y$ .

$y' (2 x y) + 2 y' y^{2} - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $y'$ da $2 y' y^{2}$ .

$y' (2 x y) + y' (2 y^{2}) - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (2 x y) + y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y - 2 y^{2}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $y'$ da $y' (2 x y) + y' (2 y^{2})$ .

$y' (2 x y + 2 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y - 2 y^{2}$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $y'$ da $y' (2 x y + 2 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$

Passaggio 5.3.4

Dividi per $2 x y + 2 y^{2} - 1$ ciascun termine in $y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Dividi per $2 x y + 2 y^{2} - 1$ ciascun termine in $y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$ .

$\frac{y' (2 x y + 2 y^{2} - 1)}{2 x y + 2 y^{2} - 1} = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2 x y + 2 y^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 x y + 2 y^{2} - 1)}{2 x y + 2 y^{2} - 1} = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Passaggio 5.3.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Passaggio 5.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 x y - 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Passaggio 5.3.4.3.2

Scomponi $2 y$ da $- 2 x y - 2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.2.1

Scomponi $2 y$ da $- 2 x y$ .

$y' = \frac{2 y (- x) - 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Passaggio 5.3.4.3.2.2

Scomponi $2 y$ da $- 2 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y (- x) + 2 y (- y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Passaggio 5.3.4.3.2.3

Scomponi $2 y$ da $2 y (- x) + 2 y (- y)$ .

$y' = \frac{2 y (- x - y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Passaggio 5.3.4.3.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{2 y (- (x) - y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Passaggio 5.3.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{2 y (- (x) - (y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Passaggio 5.3.4.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (y)$ .

$y' = \frac{2 y (- (x + y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Passaggio 5.3.4.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.6.1

Riscrivi $- (x + y)$ come $- 1 (x + y)$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 (x + y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Passaggio 5.3.4.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{(2 y) (x + y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 y) (x + y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$