Calcolo Esempi

$\sum_{1}^{50} n (4 n + 3)$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$n (4 n) + n \cdot 3$

Passaggio 1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 n \cdot n + n \cdot 3$

Passaggio 1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $n$ .

$4 n \cdot n + 3 \cdot n$

Passaggio 1.4

Moltiplica $n$ per $n$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sposta $n$ .

$4 (n \cdot n) + 3 \cdot n$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $n$ per $n$ .

$4 n^{2} + 3 \cdot n$

$4 n^{2} + 3 n$

Passaggio 1.5

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n = 4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2} + 3 \sum_{n = 1}^{50} n$

Passaggio 3

Calcola $4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2}$ .

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Passaggio 3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(4) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Somma $50$ e $1$ .

$4 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3.1.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica $50$ per $51$ .

$4 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $50$ .

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3.1.3

Somma $100$ e $1$ .

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $2550$ per $101$ .

$4 (\frac{257550}{6})$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{257550}{6}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{257550}{3})$

Passaggio 3.3.2.3

$2$ e $\frac{257550}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 257550}{3}$

Passaggio 3.3.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Moltiplica $2$ per $257550$ .

$\frac{515100}{3}$

Passaggio 3.3.2.4.2

Dividi $515100$ per $3$ .

$171700$

Passaggio 4

Calcola $3 \sum_{n = 1}^{50} n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(3) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $50$ e $1$ .

$3 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $50$ per $51$ .

$3 (\frac{2550}{2})$

Passaggio 4.3.3

Dividi $2550$ per $2$ .

$3 \cdot 1275$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $3$ per $1275$ .

$3825$

Passaggio 5

Somma i risultati delle sommatorie.

$171700 + 3825$

Passaggio 6

Somma $171700$ e $3825$ .

$175525$