Calcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{10} k^{3} - k$

Passaggio 1

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{k = 1}^{10} k^{3} - k = \sum_{k = 1}^{10} k^{3} - 1 \sum_{k = 1}^{10} k$

Passaggio 2

Calcola $\sum_{k = 1}^{10} k^{3}$ .

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Passaggio 2.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $3$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori nella formula.

$\frac{10^{2} {(10 + 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.1.1

Somma $10$ e $1$ .

$\frac{10^{2} \cdot 11^{2}}{4}$

Passaggio 2.3.1.2

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$\frac{100 \cdot 11^{2}}{4}$

Passaggio 2.3.1.3

Eleva $11$ alla potenza di $2$ .

$\frac{100 \cdot 121}{4}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $100$ per $121$ .

$\frac{12100}{4}$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi $12100$ per $4$ .

$3025$

Passaggio 3

Calcola $1 \sum_{k = 1}^{10} k$ .

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Passaggio 3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- 1) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Somma $10$ e $1$ .

$- 1 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $10$ per $11$ .

$- 1 (\frac{110}{2})$

Passaggio 3.3.3

Dividi $110$ per $2$ .

$- 1 \cdot 55$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $55$ .

$- 55$

Passaggio 4

Somma i risultati delle sommatorie.

$3025 - 55$

Passaggio 5

Sottrai $55$ da $3025$ .

$2970$