Calcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{7} 36 - 2^{k}$

Passaggio 1

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{k = 1}^{7} 36 - 2^{k} = \sum_{k = 1}^{7} 36 + \sum_{k = 1}^{7} - 2^{k}$

Passaggio 2

Calcola $\sum_{k = 1}^{7} 36$ .

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Passaggio 2.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(36) (7)$

Passaggio 2.3

Moltiplica $36$ per $7$ .

$252$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{k = 1}^{7} - 2^{k}$ .

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Passaggio 3.1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 3.2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

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Passaggio 3.2.1

Nella formula della variabile $r$ , sostituisci $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{- 2^{k + 1}}{- 2^{k}}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$r = \frac{2^{k + 1}}{2^{k}}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune di $2^{k + 1}$ e $2^{k}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Scomponi $2^{k}$ da $2^{k + 1}$ .

$r = \frac{2^{k} \cdot 2}{2^{k}}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{2^{k} \cdot 2}{2^{k} \cdot 1}$

Passaggio 3.2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{2^{k} \cdot 2}{2^{k} \cdot 1}$

Passaggio 3.2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{2}{1}$

Passaggio 3.2.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$r = 2$

Passaggio 3.3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci $1$ a $k$ in $- 2^{k}$ .

$a = - 2^{1}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Calcola l'esponente.

$a = - 1 \cdot 2$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$a = - 2$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$- 2 \frac{1 - 2^{7}}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $7$ .

$- 2 \frac{1 - 1 \cdot 128}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $128$ .

$- 2 \frac{1 - 128}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.1.3

Sottrai $128$ da $1$ .

$- 2 \frac{- 127}{1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \frac{- 127}{1 - 2}$

Passaggio 3.5.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 2 (\frac{- 127}{- 1})$

Passaggio 3.5.3

Dividi $- 127$ per $- 1$ .

$- 2 \cdot 127$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $- 2$ per $127$ .

$- 254$

Passaggio 4

Somma i risultati delle sommatorie.

$252 - 254$

Passaggio 5

Sottrai $254$ da $252$ .

$- 2$