Calcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Nella formula della variabile $r$ , sostituisci $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{\frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1}}{8^{n + 1}}}{\frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1}}{8^{n + 1}} \cdot \frac{8^{n}}{{(- 4)}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Combina.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1} \cdot 8^{n}}{8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di ${(- 4)}^{n + 1 - 1}$ e ${(- 4)}^{n - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi ${(- 4)}^{n - 1}$ da ${(- 4)}^{n + 1 - 1} \cdot 8^{n}$ .

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Scomponi ${(- 4)}^{n - 1}$ da $8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}$ .

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{{(- 4)}^{n - 1} \cdot 8^{n + 1}}$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{{(- 4)}^{n - 1} \cdot 8^{n + 1}}$

Passaggio 2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n}}{8^{n + 1}}$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di $8^{n}$ e $8^{n + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Scomponi $8^{n + 1}$ da ${(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n}$ .

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1}}$

Passaggio 2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.4.2.4

Dividi ${(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$ per $1$ .

$r = {(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Passaggio 2.2.5

Somma $n$ e $0$ .

$r = {(- 4)}^{n - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(- 4)}^{n - n - - 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Passaggio 2.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(- 4)}^{n - n + 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Passaggio 2.2.7

Sottrai $n$ da $n$ .

$r = {(- 4)}^{0 + 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Passaggio 2.2.8

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(- 4)}^{1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Passaggio 2.2.9

Calcola l'esponente.

$r = - 4 \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Passaggio 2.2.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = - 4 \cdot 8^{n - n - 1 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.10.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$r = - 4 \cdot 8^{n - n - 1}$

Passaggio 2.2.11

Sottrai $n$ da $n$ .

$r = - 4 \cdot 8^{0 - 1}$

Passaggio 2.2.12

Sottrai $1$ da $0$ .

$r = - 4 \cdot 8^{- 1}$

Passaggio 2.2.13

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = - 4 \cdot \frac{1}{8}$

Passaggio 2.2.14

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$r = 4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

Passaggio 2.2.14.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$r = 4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.14.3

Elimina il fattore comune.

$r = 4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.14.4

Riscrivi l'espressione.

$r = - 1 \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.15

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$r = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Poiché $| r | < 1$ , la serie converge.

Passaggio 4

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ a $n$ in $\frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}$ .

$a = \frac{{(- 4)}^{1 - 1}}{8^{1}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = \frac{{(- 4)}^{0}}{8^{1}}$

Passaggio 4.2.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = \frac{1}{8^{1}}$

Passaggio 4.2.2

Calcola l'esponente.

$a = \frac{1}{8}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori del rapporto e del primo termine nella formula della somma.

$\frac{\frac{1}{8}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $- - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 1}{2}}$

Passaggio 6.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{8} (1 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 6.4

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3}$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2}{3}$

Passaggio 6.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2}{3}$

Passaggio 6.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 6.6

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 6.7

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{1}{12}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{12}$

Forma decimale:

$0.08\overline{3}$