Calcolo Esempi

$\frac{2 x + 1}{3 x - 5}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x + 1$ e $g (x) = 3 x - 5$ .

$\frac{(3 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(3 x - 5) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(3 x - 5) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(3 x - 5) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(3 x - 5) \cdot 2 - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 5) \cdot 2 - (2 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 5) \cdot 2 - (2 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{(3 x - 5) \cdot 2 - (2 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 6.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(3 x - 5) \cdot 2 - (2 x + 1) (3 + 0)}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{(3 x - 5) \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x \cdot 2 - 5 \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x \cdot 2 - 5 \cdot 2 + (- (2 x) - 1 \cdot 1) \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x \cdot 2 - 5 \cdot 2 - (2 x) \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 7.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.4.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 x - 5 \cdot 2 - (2 x) \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$\frac{6 x - 10 - (2 x) \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{6 x - 10 - 2 x \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{6 x - 10 - 6 x - 1 \cdot 1 \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.5

Moltiplica $- 1 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Passaggio 7.4.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{6 x - 10 - 6 x - 1 \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{6 x - 10 - 6 x - 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 7.4.2

Combina i termini opposti in $6 x - 10 - 6 x - 3$ .

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Passaggio 7.4.2.1

Sottrai $6 x$ da $6 x$ .

$\frac{0 - 10 - 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 7.4.2.2

Sottrai $10$ da $0$ .

$\frac{- 10 - 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 7.4.3

Sottrai $3$ da $- 10$ .

$\frac{- 13}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Passaggio 7.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{13}{{(3 x - 5)}^{2}}$