Calcolo Esempi

$\sin (\frac{t}{\sqrt{t + 2}})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t + 2}$ come ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = \frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4

Moltiplica gli esponenti in ${({(t + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 2)}^{1}}$

Passaggio 5

Semplifica.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 2}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 2}$

Passaggio 6.2

Moltiplica ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 2}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = t + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $t + 2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $t + 2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Passaggio 8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Passaggio 9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Passaggio 10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Passaggio 11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Passaggio 11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Passaggio 12

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Passaggio 12.2

$\frac{1}{2}$ e ${(t + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Passaggio 12.3

Sposta ${(t + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Passaggio 12.4

$\frac{1}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 2]}{t + 2}$

Passaggio 13

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])}{t + 2}$

Passaggio 14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [2])}{t + 2}$

Passaggio 15

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t + 2}$

Passaggio 16

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Somma $1$ e $0$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t + 2}$

Passaggio 16.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Passaggio 17

Per scrivere ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Passaggio 18

${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Passaggio 19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Passaggio 20

Moltiplica ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sposta ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} {(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Passaggio 20.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Passaggio 20.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Passaggio 20.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Passaggio 20.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Passaggio 21

Semplifica ${(t + 2)}^{1} \cdot 2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{(t + 2) \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Passaggio 22

Sposta $2$ alla sinistra di $t + 2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{2 \cdot (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Passaggio 23

Riscrivi $\frac{\frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$ come un prodotto.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) (\frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 2})$

Passaggio 24

Moltiplica $\frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{t + 2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}} (t + 2)}$

Passaggio 25

Eleva $t + 2$ alla potenza di $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 ({(t + 2)}^{1} {(t + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 26

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 27

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 27.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 27.3

Somma $2$ e $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 28

$\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ e $\frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) (2 (t + 2) - t)}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) (2 t + 2 \cdot 2 - t)}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) (2 t + 4 - t)}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.2.2

Sottrai $t$ da $2 t$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 4)}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 4}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.2.4

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) t + 4 \cdot \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.2.5

Riordina i fattori in $\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) t + 4 \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{t \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) + 4 \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.3

Scomponi $\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ da $t \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) + 4 \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.3.1

Scomponi $\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ da $t \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) t + 4 \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.3.2

Scomponi $\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ da $4 \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 4}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.3.3

Scomponi $\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}})$ da $\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 4$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 4)}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$