Calcolo Esempi

${(\frac{t^{3}}{t^{8} + 1})}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \frac{t^{3}}{t^{8} + 1}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{t^{3}}{t^{8} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{t^{3}}{t^{8} + 1}$ .

$2 \frac{t^{3}}{t^{8} + 1} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 1}]$

Passaggio 2

$2$ e $\frac{t^{3}}{t^{8} + 1}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 1}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t^{8} + 1$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{(t^{8} + 1) \frac{d}{d t} [t^{3}] - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 1]}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{(t^{8} + 1) (3 t^{2}) - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 1]}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Sposta $3$ alla sinistra di $t^{8} + 1$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 \cdot (t^{8} + 1) t^{2} - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 1]}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{8} + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + 0)}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Somma $8 t^{7}$ e $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - t^{3} (8 t^{7})}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{3} t^{7}}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{7}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $t^{7}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 (t^{7} t^{3})}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{7 + 3}}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Somma $7$ e $3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1}$ per $\frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{10})}{(t^{8} + 1) {(t^{8} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Moltiplica $t^{8} + 1$ per ${(t^{8} + 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $t^{8} + 1$ per ${(t^{8} + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 7.1.1

Eleva $t^{8} + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{1} {(t^{8} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{1 + 2}}$

Passaggio 7.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{3} ((3 t^{8} + 3 \cdot 1) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2} + 3 \cdot 1 t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.4.1.1

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{8}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.4.1.1.1

Sposta $t^{8}$ .

$\frac{2 (t^{8} t^{3}) (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 t^{8 + 3} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.1.3

Somma $8$ e $3$ .

$\frac{2 t^{11} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 \cdot 3 t^{11} t^{2} + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.3

Moltiplica $t^{11}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.4.1.3.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3 (t^{2} t^{11}) + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \cdot 3 t^{2 + 11} + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.3.3

Somma $2$ e $11$ .

$\frac{2 \cdot 3 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 t^{3} t^{2} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.6

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.4.1.6.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 (t^{2} t^{3}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 t^{2 + 3} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.6.3

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 6 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.8

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 t^{13} + 6 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} t^{10}}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.9

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{10}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.4.1.9.1

Sposta $t^{10}$ .

$\frac{6 t^{13} + 6 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{10} t^{3})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.9.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 t^{13} + 6 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{10 + 3}}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.9.3

Somma $10$ e $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 6 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{13}}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.10

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$\frac{6 t^{13} + 6 t^{5} - 16 t^{13}}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.4.2

Sottrai $16 t^{13}$ da $6 t^{13}$ .

$\frac{- 10 t^{13} + 6 t^{5}}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.5

Scomponi $2 t^{5}$ da $- 10 t^{13} + 6 t^{5}$ .

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Passaggio 8.5.1

Scomponi $2 t^{5}$ da $- 10 t^{13}$ .

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 6 t^{5}}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.5.2

Scomponi $2 t^{5}$ da $6 t^{5}$ .

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (3)}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.5.3

Scomponi $2 t^{5}$ da $2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (3)$ .

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8} + 3)}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.6

Scomponi $- 1$ da $- 5 t^{8}$ .

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) + 3)}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.7

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) - 1 (- 3))}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.8

Scomponi $- 1$ da $- (5 t^{8}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8} - 3))}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.9

Riscrivi $- (5 t^{8} - 3)$ come $- 1 (5 t^{8} - 3)$ .

$\frac{2 t^{5} (- 1 (5 t^{8} - 3))}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 3)}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.11

Riordina i fattori in $- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 3)}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2 t^{5} (5 t^{8} - 3)}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$