Calcolo Esempi

$\frac{\sqrt{t}}{4 t - 3}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{2}}}{4 t - 3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 4 t - 3$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.3

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 t - 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 10

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 12

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 13

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 + 0)}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 14.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4 t$ .

$\frac{2 (2 t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 t) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}})} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 t \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.2

$2$ e $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.3

$t$ e $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t \cdot 2}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.4

Sposta $t^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{t \cdot 2 t^{- \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $t$ per $t^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.5.1

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} t \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.5.2

Moltiplica $t^{- \frac{1}{2}}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.5.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{t^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.5.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.5.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.6

Sposta $2$ alla sinistra di $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.7

$- 3$ e $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.2.2

Sottrai $4 t^{\frac{1}{2}}$ da $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}}) - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.3.1.2

Scomponi $- 1$ da $- \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}}) - (\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.3.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 t^{\frac{1}{2}}) - (\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.3.2

Per scrivere $2 t^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.3.3

$2 t^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.3.5.2

Moltiplica $t^{\frac{1}{2}}$ per $t^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.5.2.1

Sposta $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.3.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.3.5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{1 + 1}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.3.5.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{2}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.3.5.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{1} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.3.5.3

Semplifica $2 \cdot 2 t^{1}$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.3.5.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- \frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Passaggio 15.5

Moltiplica $\frac{1}{{(4 t - 3)}^{2}}$ per $\frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{4 t + 3}{{(4 t - 3)}^{2} (2 t^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 15.6

Sposta $2$ alla sinistra di ${(4 t - 3)}^{2}$ .

$- \frac{4 t + 3}{2 \cdot {(4 t - 3)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.7

Riordina i fattori in $- \frac{4 t + 3}{2 {(4 t - 3)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}} {(4 t - 3)}^{2}}$