Calcolo Esempi

$(2 t - 1) {(6 t - 5)}^{- 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = 2 t - 1$ e $g (t) = {(6 t - 5)}^{- 1}$ .

$(2 t - 1) \frac{d}{d t} [{(6 t - 5)}^{- 1}] + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 6 t - 5$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 t - 5$ .

$(2 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [6 t - 5]) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$(2 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [6 t - 5]) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 t - 5$ .

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} \frac{d}{d t} [6 t - 5]) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 t - 5$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Passaggio 3.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6 t$ rispetto a $t$ è $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 + 0)) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $6$ e $0$ .

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} \cdot 6) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 3.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 3.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 3.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 + 0)$

Passaggio 3.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.12.1

Somma $2$ e $0$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} \cdot 2$

Passaggio 3.12.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(6 t - 5)}^{- 1}$ .

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + 2 \cdot {(6 t - 5)}^{- 1}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$- 6 {(6 t - 5)}^{- 2} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Passaggio 4.2.2

$- 6$ e $\frac{1}{{(6 t - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Passaggio 4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Passaggio 4.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t) - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t)$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} t - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Passaggio 4.2.5.2

$- 2$ e $\frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 6}{{(6 t - 5)}^{2}} t - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Passaggio 4.2.5.3

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$\frac{- 12}{{(6 t - 5)}^{2}} t - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Passaggio 4.2.5.4

$\frac{- 12}{{(6 t - 5)}^{2}}$ e $t$ .

$\frac{- 12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + 1 \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Passaggio 4.2.6.2

Moltiplica $\frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$ per $1$ .

$\frac{- 12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Passaggio 4.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

Passaggio 4.2.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 \frac{1}{6 t - 5}$

Passaggio 4.2.9

$2$ e $\frac{1}{6 t - 5}$ .

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2}{6 t - 5}$

Passaggio 4.3

Per scrivere $\frac{2}{6 t - 5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6 t - 5}{6 t - 5}$ .

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2}{6 t - 5} \cdot \frac{6 t - 5}{6 t - 5} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${(6 t - 5)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $\frac{2}{6 t - 5}$ per $\frac{6 t - 5}{6 t - 5}$ .

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{(6 t - 5) (6 t - 5)} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Eleva $6 t - 5$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{1} (6 t - 5)} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.4.3

Eleva $6 t - 5$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{1} {(6 t - 5)}^{1}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{1 + 1}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 12 t + 2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 12 t + 2 (6 t - 5) + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 12 t + 2 (6 t) + 2 \cdot - 5 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.7.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{- 12 t + 12 t + 2 \cdot - 5 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.7.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{- 12 t + 12 t - 10 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Somma $- 12 t$ e $12 t$ .

$\frac{0 - 10 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Sottrai $10$ da $0$ .

$\frac{- 10 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.10

Somma $- 10$ e $6$ .

$\frac{- 4}{{(6 t - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{{(6 t - 5)}^{2}}$