Calcolo Esempi

$\frac{\sin (q) - \cos (q)}{\sin (q)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ è $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ dove $f (q) = \sin (q) - \cos (q)$ e $g (q) = \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) \frac{d}{d q} [\sin (q) - \cos (q)] - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (q) - \cos (q)$ rispetto a $q$ è $\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [- \cos (q)]$ .

$\frac{\sin (q) (\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [- \cos (q)]) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3

La derivata di $\sin (q)$ rispetto a $q$ è $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \frac{d}{d q} [- \cos (q)]) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $q$ , la derivata di $- \cos (q)$ rispetto a $q$ è $- \frac{d}{d q} [\cos (q)]$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 5

La derivata di $\cos (q)$ rispetto a $q$ è $- \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - - \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 6

Moltiplica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + 1 \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\sin (q)$ per $1$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 7

La derivata di $\sin (q)$ rispetto a $q$ è $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \sin (q)) - (\sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) - (\sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) + (- \sin (q) - - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) - \sin (q) \cos (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.4.1

Combina i termini opposti in $\sin (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) - \sin (q) \cos (q) - - \cos (q) \cos (q)$ .

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Passaggio 8.4.1.1

Sottrai $\sin (q) \cos (q)$ da $\sin (q) \cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) \sin (q) + 0 - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.4.1.2

Somma $\sin (q) \sin (q)$ e $0$ .

$\frac{\sin (q) \sin (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.4.2.1

Moltiplica $\sin (q) \sin (q)$ .

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Passaggio 8.4.2.1.1

Eleva $\sin (q)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (q) \sin (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.4.2.1.2

Eleva $\sin (q)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (q) \sin^{1} (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.4.2.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sin (q)}^{1 + 1} - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.4.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) - - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.4.2.2

Moltiplica $- - \cos (q)$ .

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Passaggio 8.4.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + 1 \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.4.2.2.2

Moltiplica $\cos (q)$ per $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.4.2.3

Moltiplica $\cos (q) \cos (q)$ .

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Passaggio 8.4.2.3.1

Eleva $\cos (q)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos^{1} (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.4.2.3.2

Eleva $\cos (q)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos^{1} (q) \cos^{1} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.4.2.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin^{2} (q) + {\cos (q)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.4.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.4.3

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 8.5

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (q)}$ a $\csc^{2} (q)$ .

$\csc^{2} (q)$