Calcolo Esempi

$(45 + e^{t}) \ln (t)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = 45 + e^{t}$ e $g (t) = \ln (t)$ .

$(45 + e^{t}) \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [45 + e^{t}]$

Passaggio 2

La derivata di $\ln (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{t}$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [45 + e^{t}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $45 + e^{t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [45] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) (\frac{d}{d t} [45] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Passaggio 3.2

Poiché $45$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $45$ rispetto a $t$ è $0$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) (0 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$45 \frac{1}{t} + e^{t} \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

$45$ e $\frac{1}{t}$ .

$\frac{45}{t} + e^{t} \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

Passaggio 5.2.2

$e^{t}$ e $\frac{1}{t}$ .

$\frac{45}{t} + \frac{e^{t}}{t} + \ln (t) e^{t}$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$e^{t} \ln (t) + \frac{45}{t} + \frac{e^{t}}{t}$