Calcolo Esempi

$\frac{2 - v^{2}}{2 + v^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ è $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ dove $f (v) = 2 - v^{2}$ e $g (v) = 2 + v^{2}$ .

$\frac{(2 + v^{2}) \frac{d}{d v} [2 - v^{2}] - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - v^{2}$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $2$ rispetto a $v$ è $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) \frac{d}{d v} [- v^{2}] - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $- v^{2}$ rispetto a $v$ è $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- \frac{d}{d v} [v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- (2 v)) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + v^{2}$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $2$ rispetto a $v$ è $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - 2 (2 - v^{2}) v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 2 (2 - v^{2}) v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) + (- 2 \cdot 2 - 2 (- v^{2})) v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 2 \cdot 2 v - 2 (- v^{2}) v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{- 4 v + v^{2} (- 2 v) - 2 \cdot 2 v - 2 (- v^{2}) v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 4 v - 2 v^{2} v - 2 \cdot 2 v - 2 (- v^{2}) v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $v^{2}$ per $v$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.3.1

Sposta $v$ .

$\frac{- 4 v - 2 (v \cdot v^{2}) - 2 \cdot 2 v - 2 (- v^{2}) v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3.2

Moltiplica $v$ per $v^{2}$ .

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Passaggio 3.4.1.3.2.1

Eleva $v$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 (v^{1} v^{2}) - 2 \cdot 2 v - 2 (- v^{2}) v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 v - 2 v^{1 + 2} - 2 \cdot 2 v - 2 (- v^{2}) v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 2 \cdot 2 v - 2 (- v^{2}) v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - 2 (- v^{2}) v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5

Moltiplica $v^{2}$ per $v$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.5.1

Sposta $v$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - 2 (- (v \cdot v^{2}))}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.2

Moltiplica $v$ per $v^{2}$ .

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Passaggio 3.4.1.5.2.1

Eleva $v$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - 2 (- (v^{1} v^{2}))}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - 2 (- v^{1 + 2})}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - 2 (- v^{3})}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 2 v^{3}}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Combina i termini opposti in $- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 2 v^{3}$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Somma $- 2 v^{3}$ e $2 v^{3}$ .

$\frac{- 4 v - 4 v + 0}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $- 4 v - 4 v$ e $0$ .

$\frac{- 4 v - 4 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $4 v$ da $- 4 v$ .

$\frac{- 8 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$