Calcolo Esempi

${(x - y)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(x - y)}^{2}$ come $(x - y) (x - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(x - y) (x - y)]$

Passaggio 2

Espandi $(x - y) (x - y)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d y} [x (x - y) - y (x - y)]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y (x - y)]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)]$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - y (- y)]$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y]$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.4.1

Sposta $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)]$

Passaggio 3.1.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}]$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]$

Passaggio 3.2

Sottrai $y x$ da $- x y$ .

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Passaggio 3.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $x y$ da $- x y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]$

Passaggio 4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 5

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 6

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 7

Poiché $- 2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 x y$ rispetto a $y$ è $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 9

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 x + 2 y$