Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 1) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 + 0) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.7

Somma $2 x - 4$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.11.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - 2 (x^{2} - 4 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) + (- 2 x^{2} - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.1

Espandi $(x^{2} + 1) (2 x - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 4) + 1 (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.2.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.3

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.4

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.5

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 (x \cdot x)) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x - 4 + 0 + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.2.2

Somma $- 4 x^{2} + 2 x - 4$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x - 4 + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.2.3

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.2.4

Somma $- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.3

Somma $- 4 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.4.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.4.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4.1.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2}) + 4 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4.1.3

Scomponi $4$ da $4 (x^{2}) + 4 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{4 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}})$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.5.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.5.4.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.5.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.5.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.5.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.5.8.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.5.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.5.8.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.8.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.5.8.4.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.5.8.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{2} x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.7.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.7.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.7.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.7.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.7.5.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.5.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.7.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.2.7.5.3

$4$ e $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.1

Riscrivi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ come $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.2

Espandi $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.3.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.3.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.3.2

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{4} x + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.7.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.7.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.7.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.7.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{1 + 4} + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.7.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.7.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.7.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.7.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.7.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.7.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.7.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{3} + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5}) + 4 (4 x^{3}) + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.9.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 4 (4 x^{3}) + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.9.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.9.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.10

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x - 4) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.11

Espandi $(- 4 x - 4) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x (x - 1) - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.12.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.12.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.12.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.12.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.12.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.12.2

Sottrai $4 x$ da $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 0 + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.12.3

Somma $- 4 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.13.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.13.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.13.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.13.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2 + 1} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.13.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.13.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.14

Espandi $(- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} (x^{3} + x) + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.14.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.14.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.15

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.15.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.15.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.15.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.15.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.15.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.15.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.15.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1.15.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.15.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.15.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.15.2

Somma $- 4 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} + 0 + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.15.3

Somma $- 4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.16

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5}) + 4 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.17

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x - 16 x^{5} + 4 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.1.18

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x - 16 x^{5} + 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.2

Sottrai $16 x^{5}$ da $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.4.3

Somma $8 x$ e $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.5.1

Scomponi $8 x$ da $- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.5.1.1

Scomponi $8 x$ da $- 8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 16 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.5.1.2

Scomponi $8 x$ da $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2}) + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.5.1.3

Scomponi $8 x$ da $24 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2}) + 8 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.5.1.4

Scomponi $8 x$ da $8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 8 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.5.1.5

Scomponi $8 x$ da $8 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 8 x (3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.5.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.5.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + 2 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.5.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.5.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.5.4.1.1

Scomponi $2$ da $2 u$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + 2 (u) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.5.4.1.2

Riscrivi $2$ come $- 1$ più $3$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.5.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} - 1 u + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.5.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.5.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f'' (x) = \frac{8 x ((- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.5.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f'' (x) = \frac{8 x (u (- u - 1) - 3 (- u - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.5.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((- u - 1) (u - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.5.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{2} - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.6

Elimina il fattore comune di $- x^{2} - 1$ e ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.6.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2}) - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.6.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2}) - 1 \cdot 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.6.4

Riscrivi $- (x^{2} + 1)$ come $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.6.5

Scomponi $x^{2} + 1$ da $8 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8.6.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.6.6.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.8.6.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.8.6.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.8.7

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2.8.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$8 x (x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 3.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.3.3

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Risolvi $x^{2} - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Passaggio 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.3.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.3.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.3.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $8 x (x^{2} - 3) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 4 \cdot 0 + 1}{0^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 1}{0^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 1}{0^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{1}{0^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{1}{0 + 1}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

Passaggio 4.1.2.3

Dividi $1$ per $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 4.1.2.4

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ è $(0, 1)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 1)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $\sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{3}) = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{(\sqrt{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Passaggio 4.3.2.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Passaggio 4.3.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Passaggio 4.3.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Passaggio 4.3.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Passaggio 4.3.2.1.1.5

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Somma $3$ e $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Passaggio 4.3.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Passaggio 4.3.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Passaggio 4.3.2.2.1.5

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Somma $3$ e $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.3.2.3

Elimina il fattore comune di $4 - 4 \sqrt{3}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.3.2.3.2

Scomponi $4$ da $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.3.2.3.3

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.3.2.3.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.4.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4 (1)}$

Passaggio 4.3.2.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.2.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{1}$

Passaggio 4.3.2.3.4.4

Dividi $1 - \sqrt{3}$ per $1$ .

$f (\sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 4.3.2.4

La risposta finale è $1 - \sqrt{3}$ .

$1 - \sqrt{3}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $\sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ è $(\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$

Passaggio 4.5

Sostituisci $- \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(- \sqrt{3})}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1 {\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.1.3

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.1.4.5

Calcola l'esponente.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 + 4 \sqrt{3} + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.1.6

Somma $3$ e $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.2.3

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.2.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.2.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.2.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Passaggio 4.5.2.2.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Passaggio 4.5.2.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Passaggio 4.5.2.2.4.5

Calcola l'esponente.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Passaggio 4.5.2.2.5

Somma $3$ e $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.5.2.3

Elimina il fattore comune di $4 + 4 \sqrt{3}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.5.2.3.2

Scomponi $4$ da $4 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (\sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.5.2.3.3

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (\sqrt{3})$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.5.2.3.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.3.4.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4 (1)}$

Passaggio 4.5.2.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.2.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{1}$

Passaggio 4.5.2.3.4.4

Dividi $1 + \sqrt{3}$ per $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 4.5.2.4

La risposta finale è $1 + \sqrt{3}$ .

$1 + \sqrt{3}$

Passaggio 4.6

Il punto trovato sostituendo $- \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ è $(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$

Passaggio 4.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}), (- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \sqrt{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.8320508$ nell'espressione.

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{8 (- 1.8320508) ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $8$ per $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 14.65640646 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 14.65640646$ per ${(- 1.8320508)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 1.8320508$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $3.35641016$ e $1$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{4.35641016}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $4.35641016$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{82.67730033}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Dividi $- 5.22369219$ per $82.67730033$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.06318169$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 0.06318169$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.06318169$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $0.06318169$ .

$0.06318169$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 1.8320508$ , la derivata seconda è $0.06318169$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Crescente su $(- \infty, - \sqrt{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \sqrt{3}, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.8660254$ nell'espressione.

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{8 (- 0.8660254) ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $8$ per $- 0.8660254$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{- 6.92820323 ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 6.92820323$ per ${(- 0.8660254)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $- 0.8660254$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $0.75$ e $1$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{1.75}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $1.75$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{5.359375}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Dividi $15.58845726$ per $5.359375$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 1 \cdot 2.90863342$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2.90863342$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 2.90863342$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- 2.90863342$ .

$- 2.90863342$

Passaggio 7.3

Per $- 0.8660254$ , la derivata seconda è $- 2.90863342$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \sqrt{3}, 0)$ .

Decrescente su $(- \sqrt{3}, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \sqrt{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.8660254$ nell'espressione.

$f'' (0.8660254) = - \frac{8 (0.8660254) ({(0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $8$ per $0.8660254$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{6.92820323 ({0.8660254}^{2} - 3)}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $6.92820323$ per ${0.8660254}^{2} - 3$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $0.8660254$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $0.75$ e $1$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{1.75}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $1.75$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{5.359375}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Dividi $- 15.58845726$ per $5.359375$ .

$f'' (0.8660254) = 2.90863342$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2.90863342$ .

$f'' (0.8660254) = 2.90863342$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $2.90863342$ .

$2.90863342$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $0.8660254$ , la derivata seconda è $2.90863342$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \sqrt{3})$ .

Crescente su $(0, \sqrt{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\sqrt{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.8320508$ nell'espressione.

$f'' (1.8320508) = - \frac{8 (1.8320508) ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $8$ per $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{14.65640646 ({1.8320508}^{2} - 3)}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $14.65640646$ per ${1.8320508}^{2} - 3$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Eleva $1.8320508$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $3.35641016$ e $1$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{4.35641016}^{3}}$

Passaggio 9.2.2.3

Eleva $4.35641016$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{82.67730033}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Dividi $5.22369219$ per $82.67730033$ .

$f'' (1.8320508) = - 1 \cdot 0.06318169$

Passaggio 9.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0.06318169$ .

$f'' (1.8320508) = - 0.06318169$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $- 0.06318169$ .

$- 0.06318169$

Passaggio 9.3

Per $1.8320508$ , la derivata seconda è $- 0.06318169$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Decrescente su $(\sqrt{3}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}), (0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$ .

$(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}), (0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$

Passaggio 11