Calcolo Esempi

$x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Passaggio 1

Scrivi $x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ come funzione.

$f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- \frac{1}{162}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{162}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ e $\frac{1}{162}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.2

$x$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4.2

$- 2$ e $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162}$ e $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}}) x}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $162$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $162$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 (81)} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 \cdot 81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$

Passaggio 2.9

Moltiplica $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ per $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}] + \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- \frac{1}{81}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{81} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- \frac{1}{162}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{162}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- 2 (\frac{1}{162}) \cdot x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.8

$- 2$ e $\frac{1}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2}{162} x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.9

$\frac{- 2}{162}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2 x}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.10

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $162$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.2.1

Scomponi $2$ da $162$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 (81)})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 81})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- x}{81})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x}{81})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.12

$e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ e $\frac{x}{81}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.13

$x^{2}$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.14

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.14.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.14.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.14.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.14.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{1 + 2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.2.14.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})$

Passaggio 3.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})$

Passaggio 3.3.2

Poiché $- \frac{1}{162}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{162}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot (2 x))$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- 2 (\frac{1}{162}) \cdot x)$

Passaggio 3.3.5

$- 2$ e $\frac{1}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2}{162} x)$

Passaggio 3.3.6

$\frac{- 2}{162}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2 x}{162})$

Passaggio 3.3.7

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $162$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{162})$

Passaggio 3.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $162$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 (81)})$

Passaggio 3.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 81})$

Passaggio 3.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- x}{81})$

Passaggio 3.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x}{81})$

Passaggio 3.3.9

$e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ e $\frac{x}{81}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}) - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{81}) \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $\frac{1}{81}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{81} \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Passaggio 3.4.2.3

Moltiplica $\frac{1}{81}$ per $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81 \cdot 81} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Passaggio 3.4.2.4

Moltiplica $81$ per $81$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Passaggio 3.4.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - 2 (\frac{1}{81}) \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Passaggio 3.4.2.6

$- 2$ e $\frac{1}{81}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 2}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Passaggio 3.4.2.7

$e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ e $\frac{- 2}{81}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot - 2}{81} \cdot x - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Passaggio 3.4.2.8

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot - 2}{81}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot (- 2 x)}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Passaggio 3.4.2.9

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 2 \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Passaggio 3.4.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Passaggio 3.4.2.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x - e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Passaggio 3.4.2.12

Sottrai $e^{- \frac{x^{2}}{162}} x$ da $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 3 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Passaggio 3.4.2.13

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.13.1

Scomponi $3$ da $- 3 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{3 (- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{81}$

Passaggio 3.4.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.13.2.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{3 (- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{3 (27)}$

Passaggio 3.4.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{3 (- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{3 \cdot 27}$

Passaggio 3.4.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{27}$

Passaggio 3.4.2.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{27}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i fattori in $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{27}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- \frac{1}{162}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{162}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ e $\frac{1}{162}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.2.2

$x$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.4.2

$- 2$ e $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162}$ e $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}}) x}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.7

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $162$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $162$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 (81)} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 \cdot 81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$

Passaggio 5.1.9

Moltiplica $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ da $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ da $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1 = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Scomponi $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ da $e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81} + 1) = 0$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81} + 1^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi $\frac{x^{2}}{81}$ come ${(\frac{x}{9})}^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- {(\frac{x}{9})}^{2} + 1^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.4

Riordina $- {(\frac{x}{9})}^{2}$ e $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1^{2} - {(\frac{x}{9})}^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{x}{9}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} ((1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9})) = 0$

Passaggio 6.2.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9}) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

$1 + \frac{x}{9} = 0$

$1 - \frac{x}{9} = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ uguale a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi $e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{162}}) = \ln (0)$

Passaggio 6.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 6.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 6.5

Imposta $1 + \frac{x}{9}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $1 + \frac{x}{9}$ uguale a $0$ .

$1 + \frac{x}{9} = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $1 + \frac{x}{9} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{9} = - 1$

Passaggio 6.5.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $9$ .

$9 \frac{x}{9} = 9 \cdot - 1$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{x}{9} = 9 \cdot - 1$

Passaggio 6.5.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 9 \cdot - 1$

Passaggio 6.5.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.2.1

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$x = - 9$

Passaggio 6.6

Imposta $1 - \frac{x}{9}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Imposta $1 - \frac{x}{9}$ uguale a $0$ .

$1 - \frac{x}{9} = 0$

Passaggio 6.6.2

Risolvi $1 - \frac{x}{9} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{x}{9} = - 1$

Passaggio 6.6.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 9$ .

$- 9 (- \frac{x}{9}) = - 9 \cdot - 1$

Passaggio 6.6.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.3.1.1

Semplifica $- 9 (- \frac{x}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.3.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{9}$ nel numeratore.

$- 9 \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Passaggio 6.6.2.3.1.1.1.2

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$9 (- 1) \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Passaggio 6.6.2.3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$9 \cdot - 1 \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Passaggio 6.6.2.3.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - x = - 9 \cdot - 1$

Passaggio 6.6.2.3.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.3.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 x = - 9 \cdot - 1$

Passaggio 6.6.2.3.1.1.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = - 9 \cdot - 1$

Passaggio 6.6.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.3.2.1

Moltiplica $- 9$ per $- 1$ .

$x = 9$

Passaggio 6.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9}) = 0$ vera.

$x = - 9, 9$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - 9, 9$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - 9$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{{(- 9)}^{3} e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{6561} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Sposta $e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(- 9)}^{3}}{6561 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 10.1.2

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$\frac{{(- 9)}^{3}}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 10.1.3

Eleva $- 9$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 10.1.4

Elimina il fattore comune di $81$ e $162$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.4.1

Scomponi $81$ da $81$ .

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81 (1)}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 10.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.4.2.1

Scomponi $81$ da $162$ .

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 10.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 10.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 10.1.5

Scomponi $729$ da $- 729$ .

$\frac{729 (- 1)}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 10.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.6.1

Scomponi $729$ da $6561 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{729 (- 1)}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 10.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{729 \cdot - 1}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 10.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 10.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 10.1.8

Sposta $e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 9}{27 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}$

Passaggio 10.1.9

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (- 1)}{27 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}$

Passaggio 10.1.10

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.10.1

Scomponi $9$ da $27 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (- 1)}{9 (3 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}})}$

Passaggio 10.1.10.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 \cdot - 1}{9 (3 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}})}$

Passaggio 10.1.10.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}$

Passaggio 10.1.11

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81}{162}}}$

Passaggio 10.1.12

Elimina il fattore comune di $81$ e $162$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.12.1

Scomponi $81$ da $81$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81 (1)}{162}}}$

Passaggio 10.1.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.12.2.1

Scomponi $81$ da $162$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Passaggio 10.1.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Passaggio 10.1.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.1.14

Moltiplica $- - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.14.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.1.14.2

Moltiplica $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2

Per scrivere $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 10.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9 e^{\frac{1}{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{3 e^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.5

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{2}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11

$x = - 9$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 9$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 9$ nell'espressione.

$f (- 9) = (- 9) \cdot e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81}{162}}$

Passaggio 12.2.2

Elimina il fattore comune di $81$ e $162$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Scomponi $81$ da $81$ .

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81 (1)}{162}}$

Passaggio 12.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.2.1

Scomponi $81$ da $162$ .

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Passaggio 12.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Passaggio 12.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 12.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 9) = - 9 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2.4

$- 9$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (- 9) = \frac{- 9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 9) = - \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2.6

La risposta finale è $- \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 9$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{{(9)}^{3} e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{6561} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Sposta $e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(9)}^{3}}{6561 e^{\frac{9^{2}}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 14.1.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$\frac{9^{3}}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 14.1.3

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 14.1.4

Elimina il fattore comune di $81$ e $162$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.4.1

Scomponi $81$ da $81$ .

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81 (1)}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 14.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.4.2.1

Scomponi $81$ da $162$ .

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 14.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 14.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{729}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 14.1.5

Scomponi $729$ da $729$ .

$\frac{729 (1)}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 14.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.6.1

Scomponi $729$ da $6561 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{729 (1)}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 14.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{729 \cdot 1}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 14.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Passaggio 14.1.7

Sposta $e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9}{27 e^{\frac{9^{2}}{162}}}$

Passaggio 14.1.8

Scomponi $9$ da $9$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (1)}{27 e^{\frac{9^{2}}{162}}}$

Passaggio 14.1.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.9.1

Scomponi $9$ da $27 e^{\frac{9^{2}}{162}}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (1)}{9 (3 e^{\frac{9^{2}}{162}})}$

Passaggio 14.1.9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 \cdot 1}{9 (3 e^{\frac{9^{2}}{162}})}$

Passaggio 14.1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{9^{2}}{162}}}$

Passaggio 14.1.10

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81}{162}}}$

Passaggio 14.1.11

Elimina il fattore comune di $81$ e $162$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.11.1

Scomponi $81$ da $81$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81 (1)}{162}}}$

Passaggio 14.1.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.11.2.1

Scomponi $81$ da $162$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Passaggio 14.1.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Passaggio 14.1.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2

Per scrivere $- \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 14.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9 e^{\frac{1}{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{3 e^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{- 2}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15

$x = 9$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 9$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f (9) = (9) \cdot e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81}{162}}$

Passaggio 16.2.2

Elimina il fattore comune di $81$ e $162$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Scomponi $81$ da $81$ .

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81 (1)}{162}}$

Passaggio 16.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.2.1

Scomponi $81$ da $162$ .

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Passaggio 16.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Passaggio 16.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 16.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (9) = 9 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.2.4

$9$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (9) = \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.2.5

La risposta finale è $\frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$(- 9, - \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}})$ è un minimo locale

$(9, \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}})$ è un massimo locale

Passaggio 18