Calcolo Esempi

$\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$ come funzione.

$f (x) = \sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{3}}$ come $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 2.3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 2.3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Passaggio 2.3.7.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.3.8

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.11

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.13.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.13.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.13.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.13.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.13.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.13.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.13.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.13.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.14

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.15

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.2.16

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- \frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 3.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 3.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 3.3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 3.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 3.3.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{4}$

Passaggio 3.3.11

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 3.3.12

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 5.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 5.1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 5.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 5.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 5.1.2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 5.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{3}}$ come $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 5.1.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 5.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 5.1.3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 5.1.3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 5.1.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 5.1.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Passaggio 5.1.3.7.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.1.3.8

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Passaggio 6.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 x^{\frac{1}{2}}, 2, 1$

Passaggio 6.2.2

Poiché $2 x^{\frac{1}{2}}, 2, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $2, 2, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{\frac{1}{2}}$ .

Passaggio 6.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 6.2.4

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 6.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 6.2.6

Il minimo comune multiplo di $2, 2, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 6.2.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{\frac{1}{2}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.8

Il minimo comune multiplo di $2 x^{\frac{1}{2}}, 2, 1$ è la parte numerica $2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica per $2 x^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ per $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ nel numeratore.

$1 + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 (x^{\frac{1}{2}})) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$1 - 3 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.5

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.5.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 - 3 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 - 3 x^{\frac{1 + 1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$1 - 3 x^{\frac{2}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.5.5

Dividi $2$ per $2$ .

$1 - 3 x^{1} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.6

Semplifica $- 3 x^{1}$ .

$1 - 3 x = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica $0 (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$1 - 3 x = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 x = 0$

Passaggio 6.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x = - 1$

Passaggio 6.4.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = - 1$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 6.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 6.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 7.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}} - \frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2}$

Passaggio 7.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2}$

Passaggio 7.1.4

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{3 \sqrt{x}}{2}$

Passaggio 7.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x} = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Semplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2.1.4

Semplifica.

$4 x = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x = 0$

Passaggio 7.3.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 7.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 7.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 7.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 7.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 7.5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{3}, 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.1.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.1.2

$4$ e $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{3^{\frac{3}{2}}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (1 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}) - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$ per $1$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.1.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{4 \frac{1^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 10.1.5.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{4 \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 10.1.6

$4$ e $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{\frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 10.1.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - (3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4})$

Passaggio 10.1.8

Moltiplica $3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.8.1

$3$ e $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 10.1.8.2

Moltiplica $3$ per $3^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.8.2.1

Moltiplica $3$ per $3^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.8.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 10.1.8.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{1 + \frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 10.1.8.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 10.1.8.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{\frac{2 + 1}{2}}}{4}$

Passaggio 10.1.8.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Passaggio 10.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3^{\frac{3}{2}} - 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $3^{\frac{3}{2}}$ da $- 3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Passaggio 10.2.3

Scomponi $2$ da $- 2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- 3^{\frac{3}{2}})}{4}$

Passaggio 10.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (- 3^{\frac{3}{2}})}{2 (2)}$

Passaggio 10.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 3^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 10.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 11

$x = \frac{1}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (\frac{1}{3}) = \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2.2.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2.2.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2.2.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2.2.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2.2.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2.2.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2.2.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2.2.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2.2.4.6.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Passaggio 12.2.2.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{\frac{1^{3}}{3^{3}}}$

Passaggio 12.2.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{\frac{1}{3^{3}}}$

Passaggio 12.2.2.7

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{\frac{1}{27}}$

Passaggio 12.2.2.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{27}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{27}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{27}}$

Passaggio 12.2.2.9

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{27}}$

Passaggio 12.2.2.10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.10.1

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.10.1.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{9 (3)}}$

Passaggio 12.2.2.10.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}$

Passaggio 12.2.2.10.2

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 12.2.2.11

Moltiplica $\frac{1}{3 \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - (\frac{1}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 12.2.2.12

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 12.2.2.12.1

Moltiplica $\frac{1}{3 \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 12.2.2.12.2

Sposta $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Passaggio 12.2.2.12.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Passaggio 12.2.2.12.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Passaggio 12.2.2.12.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 12.2.2.12.6

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 12.2.2.12.7

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 12.2.2.12.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.2.2.12.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 12.2.2.12.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 12.2.2.12.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.2.2.12.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 12.2.2.12.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 12.2.2.12.7.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 12.2.2.13

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Passaggio 12.2.3

Per scrivere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Passaggio 12.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 12.2.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Passaggio 12.2.4.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Passaggio 12.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 12.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.2.6.1

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{3 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 12.2.6.2

Sottrai $\sqrt{3}$ da $3 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 12.2.7

La risposta finale è $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 14.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 14.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- \frac{1}{4 {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 14.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- \frac{1}{0} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{1}{0} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 15

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 16