Calcolo Esempi

$h (z) = (7 - z^{2}) (z^{3} - z + 5)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ è $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ dove $f (z) = 7 - z^{2}$ e $g (z) = z^{3} - z + 5$ .

$(7 - z^{2}) \frac{d}{d z} [z^{3} - z + 5] + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $z^{3} - z + 5$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [5]$ .

$(7 - z^{2}) (\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [5]) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [5]) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d z} [- z]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- z$ rispetto a $z$ è $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [5]) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [5]) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1 + \frac{d}{d z} [5]) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $5$ rispetto a $z$ è $0$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1 + 0) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Passaggio 4.2

Somma $3 z^{2} - 1$ e $0$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) \frac{d}{d z} [7 - z^{2}]$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - z^{2}$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [7] + \frac{d}{d z} [- z^{2}]$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (\frac{d}{d z} [7] + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Passaggio 4.4

Poiché $7$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $7$ rispetto a $z$ è $0$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (0 + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Passaggio 5

Calcola $\frac{d}{d z} [- z^{2}]$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- z^{2}$ rispetto a $z$ è $- \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (0 - \frac{d}{d z} [z^{2}])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (0 - (2 z))$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (0 - 2 z)$

Passaggio 6

Sottrai $2 z$ da $0$ .

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + (z^{3} - z + 5) (- 2 z)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$(7 - z^{2}) (3 z^{2} - 1) + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(7 - z^{2}) (3 z^{2}) + (7 - z^{2}) \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$7 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + (7 - z^{2}) \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.4

Applica la proprietà distributiva.

$7 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.5.1

Moltiplica $3$ per $7$ .

$21 z^{2} - z^{2} (3 z^{2}) + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$21 z^{2} - 3 z^{2} z^{2} + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.3

Moltiplica $z^{2}$ per $z^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.5.3.1

Sposta $z^{2}$ .

$21 z^{2} - 3 (z^{2} z^{2}) + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$21 z^{2} - 3 z^{2 + 2} + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.3.3

Somma $2$ e $2$ .

$21 z^{2} - 3 z^{4} + 7 \cdot - 1 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.4

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$21 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - z^{2} \cdot - 1 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$21 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + 1 z^{2} + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.6

Moltiplica $z^{2}$ per $1$ .

$21 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z^{2} + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.7

Somma $21 z^{2}$ e $z^{2}$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z^{3} (- 2 z) - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.8

Moltiplica $z^{3}$ per $z$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.5.8.1

Sposta $z$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z \cdot z^{3} \cdot - 2 - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.8.2

Moltiplica $z$ per $z^{3}$ .

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Passaggio 7.5.8.2.1

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z^{1} z^{3} \cdot - 2 - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z^{1 + 3} \cdot - 2 - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.8.3

Somma $1$ e $3$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 + z^{4} \cdot - 2 - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.9

Sposta $- 2$ alla sinistra di $z^{4}$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 \cdot z^{4} - z (- 2 z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.10

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 z \cdot z + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.11

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 (z^{1} z) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.12

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 (z^{1} z^{1}) + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 z^{1 + 1} + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.14

Somma $1$ e $1$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 z^{2} + 5 (- 2 z)$

Passaggio 7.5.15

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$22 z^{2} - 3 z^{4} - 7 - 2 z^{4} + 2 z^{2} - 10 z$

Passaggio 7.5.16

Sottrai $2 z^{4}$ da $- 3 z^{4}$ .

$22 z^{2} - 5 z^{4} - 7 + 2 z^{2} - 10 z$

Passaggio 7.5.17

Somma $22 z^{2}$ e $2 z^{2}$ .

$24 z^{2} - 5 z^{4} - 7 - 10 z$

Passaggio 7.6

Riordina i termini.

$- 5 z^{4} + 24 z^{2} - 10 z - 7$