Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 12}{x - 4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 12$ e $g (x) = x - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 4) x) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 4) x - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Scomponi $x^{2} - 8 x + 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $12$ e la cui somma è $- 8$ .

$- 6, - 2$

Passaggio 1.1.3.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f' (x) = \frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(x - 6) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 2.3.3

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 6) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 6, 2$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $6, 2$ .

$6, 2$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Poni $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, 6) \cup (6, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{((1) - 6) ((1) - 2)}{{((1) - 4)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Sottrai $6$ da $1$ .

$f' (1) = \frac{- 5 (1 - 2)}{{(1 - 4)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (1) = \frac{- 5 \cdot - 1}{{(1 - 4)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (1) = \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (1) = \frac{- 5 \cdot - 1}{9}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$f' (1) = \frac{5}{9}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{5}{9}$ .

$\frac{5}{9}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $\frac{5}{9}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 2)$ .

Crescente su $(- \infty, 2)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = \frac{((3) - 6) ((3) - 2)}{{((3) - 4)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Sottrai $6$ da $3$ .

$f' (3) = \frac{- 3 (3 - 2)}{{(3 - 4)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f' (3) = \frac{- 3 \cdot 1}{{(3 - 4)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $4$ da $3$ .

$f' (3) = \frac{- 3 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = \frac{- 3 \cdot 1}{1}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (3) = \frac{- 3}{1}$

Passaggio 7.2.3.2

Dividi $- 3$ per $1$ .

$f' (3) = - 3$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(2, 4)$ .

Decrescente su $(2, 4)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, 6)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = \frac{((5) - 6) ((5) - 2)}{{((5) - 4)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Sottrai $6$ da $5$ .

$f' (5) = \frac{- 1 (5 - 2)}{{(5 - 4)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$f' (5) = \frac{- 1 \cdot 3}{{(5 - 4)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $4$ da $5$ .

$f' (5) = \frac{- 1 \cdot 3}{1^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (5) = \frac{- 1 \cdot 3}{1}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (5) = \frac{- 3}{1}$

Passaggio 8.2.3.2

Dividi $- 3$ per $1$ .

$f' (5) = - 3$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 5$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(4, 6)$ .

Decrescente su $(4, 6)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(6, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f' (7) = \frac{((7) - 6) ((7) - 2)}{{((7) - 4)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Sottrai $6$ da $7$ .

$f' (7) = \frac{1 (7 - 2)}{{(7 - 4)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $7 - 2$ per $1$ .

$f' (7) = \frac{7 - 2}{{(7 - 4)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.3

Sottrai $2$ da $7$ .

$f' (7) = \frac{5}{{(7 - 4)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Sottrai $4$ da $7$ .

$f' (7) = \frac{5}{3^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (7) = \frac{5}{9}$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $\frac{5}{9}$ .

$\frac{5}{9}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 7$ la derivata è $\frac{5}{9}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(6, \infty)$ .

Crescente su $(6, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 2), (6, \infty)$

Decrescente su: $(2, 4), (4, 6)$

Passaggio 11