Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x - 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x^{2}}{x - 3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 3$ .

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 \frac{(x - 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 3$ .

$4 \frac{2 \cdot (x - 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6.3

$4$ e $\frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4 (2 (x - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 ((2 x + 2 \cdot - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 (2 (x \cdot x)) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.4.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.4.1.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.4.1.4

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 24 x + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 24 x - 4 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.4.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.5

Scomponi $4 x$ da $4 x^{2} - 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.5.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.5.2

Scomponi $4 x$ da $- 24 x$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (- 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.5.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x) + 4 x (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 x (x - 6) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.3.3

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x - 6) = 0$ vera.

$x = 0, 6$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 6$ .

$0, 6$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1) ((- 1) - 6)}{{((- 1) - 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 1 - 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 4)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{16}$

Passaggio 6.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Sottrai $6$ da $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 \cdot - 7}{16}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $- 4$ per $- 7$ .

$f' (- 1) = \frac{28}{16}$

Passaggio 6.2.3.3

Elimina il fattore comune di $28$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$f' (- 1) = \frac{4 (7)}{16}$

Passaggio 6.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 1) = \frac{7}{4}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $\frac{7}{4}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (\frac{3}{2}) ((\frac{3}{2}) - 6)}{{((\frac{3}{2}) - 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

$4$ e $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.4.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 6}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4.2

Sottrai $6$ da $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.6

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 7.2.2.9

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Passaggio 7.2.2.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{4})}$

Passaggio 7.2.2.11

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{12}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Dividi $12$ per $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.4.2

Per scrivere $- 6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.4.3

$- 6$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.5.1

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.4.5.2

Sottrai $12$ da $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{- 9}{2})}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 \cdot (- 1 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.4.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.7.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- (6 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.4.7.2

$6$ e $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{6 \cdot 9}{2}}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.4.7.3

Moltiplica $6$ per $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.4.8

Dividi $54$ per $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 7.2.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{3}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

Passaggio 7.2.7

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.7.1

Scomponi $9$ da $- 27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

Passaggio 7.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{3}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

Passaggio 7.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot 4$

Passaggio 7.2.8

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 12$

Passaggio 7.2.9

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = \frac{3}{2}$ la derivata è $- 12$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 3)$ .

Decrescente su $(0, 3)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, 6)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{9}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{4 (\frac{9}{2}) ((\frac{9}{2}) - 6)}{{((\frac{9}{2}) - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

$4$ e $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.4.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 6}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4.2

Sottrai $6$ da $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{2^{2}}}$

Passaggio 8.2.2.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $4$ per $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{36}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 8.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Dividi $36$ per $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 8.2.4.2

Per scrivere $- 6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 8.2.4.3

$- 6$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 8.2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 8.2.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.5.1

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 8.2.4.5.2

Sottrai $12$ da $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{- 3}{2})}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 8.2.4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 \cdot (- 1 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 8.2.4.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.7.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- (18 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 8.2.4.7.2

$18$ e $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{18 \cdot 3}{2}}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 8.2.4.7.3

Moltiplica $18$ per $3$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 8.2.4.8

Dividi $54$ per $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 8.2.5

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{9}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

Passaggio 8.2.7

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.7.1

Scomponi $9$ da $- 27$ .

$f' (\frac{9}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

Passaggio 8.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{9}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

Passaggio 8.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{9}{2}) = - 3 \cdot 4$

Passaggio 8.2.8

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - 12$

Passaggio 8.2.9

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = \frac{9}{2}$ la derivata è $- 12$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(3, 6)$ .

Decrescente su $(3, 6)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(6, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f' (7) = \frac{4 (7) ((7) - 6)}{{((7) - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $4$ per $7$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{{(7 - 3)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Sottrai $3$ da $7$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{4^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{16}$

Passaggio 9.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Sottrai $6$ da $7$ .

$f' (7) = \frac{28 \cdot 1}{16}$

Passaggio 9.2.3.2

Moltiplica $28$ per $1$ .

$f' (7) = \frac{28}{16}$

Passaggio 9.2.3.3

Elimina il fattore comune di $28$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.3.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$f' (7) = \frac{4 (7)}{16}$

Passaggio 9.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.3.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Passaggio 9.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Passaggio 9.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (7) = \frac{7}{4}$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 7$ la derivata è $\frac{7}{4}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(6, \infty)$ .

Crescente su $(6, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 0), (6, \infty)$

Decrescente su: $(0, 3), (3, 6)$

Passaggio 11