Calcolo Esempi

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 2 x - 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x^{2} - 2 x - 2$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 2] + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$(x - 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.7

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$(x - 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x - 2) (1 + 0)$

Passaggio 1.2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x - 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x - 2) \cdot 1$

Passaggio 1.2.11.2

Moltiplica $x^{2} - 2 x - 2$ per $1$ .

$(x - 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 1.3.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 1.3.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 1.3.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 1.3.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 1.3.4.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 1.3.4.6

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 1.3.4.7

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 x^{2} - 2 x - 2 x + 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 1.3.4.8

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$2 x^{2} - 4 x + 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 1.3.4.9

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x - 2$

Passaggio 1.3.4.10

Sottrai $2 x$ da $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 - 2$

Passaggio 1.3.4.11

Sottrai $2$ da $2$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Passaggio 1.3.4.12

Somma $3 x^{2} - 6 x$ e $0$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 x^{2} - 6 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$f' (x) = (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 2) + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f' (x) = (x - 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.2.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = (x - 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.2.7

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x - 2) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 4.1.2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = (x - 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 4.1.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 4.1.2.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = (x - 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x - 2) (1 + 0)$

Passaggio 4.1.2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x - 2) \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.11.2

Moltiplica $x^{2} - 2 x - 2$ per $1$ .

$f' (x) = (x - 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 4.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 4.1.3.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 1 (2 x) + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 4.1.3.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 1 (2 x) + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 4.1.3.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 4.1.3.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 4.1.3.4.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 4.1.3.4.6

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 4.1.3.4.7

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 2 x + 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 4.1.3.4.8

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + x^{2} - 2 x - 2$

Passaggio 4.1.3.4.9

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x - 2$

Passaggio 4.1.3.4.10

Sottrai $2 x$ da $- 4 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 2 - 2$

Passaggio 4.1.3.4.11

Sottrai $2$ da $2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 0$

Passaggio 4.1.3.4.12

Somma $3 x^{2} - 6 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 6 x$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 6 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $3 x$ da $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 x (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (0) - 6$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $6$ per $0$ .

$0 - 6$

Passaggio 9.2

Sottrai $6$ da $0$ .

$- 6$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = ((0) - 1) ({(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 2)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (0) = - 1 ({(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 2)$

Passaggio 11.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - 1 (0 - 2 \cdot 0 - 2)$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (0) = - 1 (0 + 0 - 2)$

Passaggio 11.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = - 1 (0 - 2)$

Passaggio 11.2.3.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (0) = - 1 \cdot - 2$

Passaggio 11.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (0) = 2$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (2) - 6$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$12 - 6$

Passaggio 13.2

Sottrai $6$ da $12$ .

$6$

Passaggio 14

$x = 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = ((2) - 1) ({(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 2)$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (2) = 1 ({(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 2)$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica ${(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 2$ per $1$ .

$f (2) = {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 2$

Passaggio 15.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 4 - 2 \cdot 2 - 2$

Passaggio 15.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (2) = 4 - 4 - 2$

Passaggio 15.2.3

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (2) = 0 - 2$

Passaggio 15.2.3.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (2) = - 2$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 2 x - 2)$ .

$(0, 2)$ è un massimo locale

$(2, - 2)$ è un minimo locale

Passaggio 17