Calcolo Esempi

$y = \frac{3 x^{2}}{x + 2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x^{2}}{x + 2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 2$ .

$3 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 \frac{(x + 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 2$ .

$3 \frac{2 \cdot (x + 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 \frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.3

$3$ e $\frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{3 (2 (x + 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 ((2 x + 2 \cdot 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot 2 x) + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 (2 (x \cdot x)) + 3 (2 \cdot 2 x) + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (2 \cdot 2 x) + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 (2 \cdot 2 x) + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 (4 x) + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.1.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 12 x + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 12 x - 3 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.2

Sottrai $3 x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 12 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.5

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2} + 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x (x) + 12 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.5.2

Scomponi $3 x$ da $12 x$ .

$\frac{3 x (x) + 3 x (4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.5.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (x) + 3 x (4)$ .

$f' (x) = \frac{3 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}]$

Passaggio 2.2

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x + 4)] - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{({(x + 2)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 2)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x + 4)] - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x + 4)] - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 4$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x + (x + 4) \cdot 1) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.5.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Moltiplica $x + 4$ per $1$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x + x + 4) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.5.6.2

Somma $x$ e $x$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 2$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - x (x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - x (x + 4) (2 u \frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - x (x + 4) (2 (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - 2 x (x + 4) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.7.2

Scomponi $x + 2$ da ${(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - 2 x (x + 4) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Scomponi $x + 2$ da ${(x + 2)}^{2} (2 x + 4)$ .

$3 \frac{(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4)) - 2 x (x + 4) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.7.2.2

Scomponi $x + 2$ da $- 2 x (x + 4) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])$ .

$3 \frac{(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4)) + (x + 2) (- 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2]))}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.7.2.3

Scomponi $x + 2$ da $(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4)) + (x + 2) (- 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2]))$ .

$3 \frac{(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2]))}{{(x + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.8

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Scomponi $x + 2$ da ${(x + 2)}^{4}$ .

$3 \frac{(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2]))}{(x + 2) {(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.8.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2]))}{(x + 2) {(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.11

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.12

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) \cdot 1}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.12.3

$3$ e $\frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{3}}$ .

$\frac{3 ((x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4))}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 ((x + 2) (2 x + 4) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 ((x + 2) (2 x + 4)) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.3.1.1

Espandi $(x + 2) (2 x + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x (2 x + 4) + 2 (2 x + 4)) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x (2 x) + x \cdot 4 + 2 (2 x + 4)) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x (2 x) + x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.3.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 (2 x \cdot x + x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.3.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 (2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.2.1.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.2.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.2.1.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x + 4 x + 8) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.2.2

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 8 x + 8) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (8 x) + 3 \cdot 8 + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.3.1.4.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 8 + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.4.2

Moltiplica $8$ per $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 3 \cdot 8 + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.4.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 + 3 (- 2 (x \cdot x)) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 + 3 (- 2 x^{2}) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.6

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 - 6 x^{2} + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.7

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 - 6 x^{2} + 3 (- 8 x)}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.1.8

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 - 6 x^{2} - 24 x}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.2

Combina i termini opposti in $6 x^{2} + 24 x + 24 - 6 x^{2} - 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.3.2.1

Sottrai $6 x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{24 x + 24 + 0 - 24 x}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.2.2

Somma $24 x + 24$ e $0$ .

$\frac{24 x + 24 - 24 x}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.2.3

Sottrai $24 x$ da $24 x$ .

$\frac{0 + 24}{{(x + 2)}^{3}}$

Passaggio 2.13.3.2.4

Somma $0$ e $24$ .

$f'' (x) = \frac{24}{{(x + 2)}^{3}}$