Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 6$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 6$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 6) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.2.2

Somma $12 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{2}})$

Passaggio 2.2

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{({(x^{2} + 6)}^{2})}^{2}})$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 6)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2 \cdot 2}})$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 6)}^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x (2 (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Passaggio 2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Passaggio 2.5.2

Scomponi $x^{2} + 6$ da ${(x^{2} + 6)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 6$ da ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6) - 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Passaggio 2.5.2.2

Scomponi $x^{2} + 6$ da $- 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6) + (x^{2} + 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Passaggio 2.5.2.3

Scomponi $x^{2} + 6$ da $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6) + (x^{2} + 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 6]))$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Passaggio 2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Scomponi $x^{2} + 6$ da ${(x^{2} + 6)}^{4}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{(x^{2} + 6) {(x^{2} + 6)}^{3}})$

Passaggio 2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{(x^{2} + 6) {(x^{2} + 6)}^{3}})$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Passaggio 2.9

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Passaggio 2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Passaggio 2.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Passaggio 2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Passaggio 2.13

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Passaggio 2.14

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Passaggio 2.15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{- 3 x^{2} + 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Passaggio 2.16

$12$ e $\frac{- 3 x^{2} + 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (- 3 x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Passaggio 2.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{12 (- 3 x^{2}) + 12 \cdot 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Passaggio 2.17.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.2.1

Moltiplica $- 3$ per $12$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x^{2} + 12 \cdot 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Passaggio 2.17.2.2

Moltiplica $12$ per $6$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x^{2} + 72}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Passaggio 2.17.3

Scomponi $36$ da $- 36 x^{2} + 72$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.3.1

Scomponi $36$ da $- 36 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- x^{2}) + 72}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Passaggio 2.17.3.2

Scomponi $36$ da $72$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- x^{2}) + 36 (2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Passaggio 2.17.3.3

Scomponi $36$ da $36 (- x^{2}) + 36 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Passaggio 2.17.4

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- (x^{2}) + 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Passaggio 2.17.5

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- (x^{2}) - 1 \cdot - 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Passaggio 2.17.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- (x^{2} - 2))}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Passaggio 2.17.7

Riscrivi $- (x^{2} - 2)$ come $- 1 (x^{2} - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- 1 (x^{2} - 2))}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Passaggio 2.17.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{36 (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{36 (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 6)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{d}{d x} \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Passaggio 3.2

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{({(x^{2} + 6)}^{3})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 6)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (2 x) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Passaggio 3.3.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} + 6)}^{3}$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 \cdot ({(x^{2} + 6)}^{3} x) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 6$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - (x^{2} - 2) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - (x^{2} - 2) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 6$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - (x^{2} - 2) (3 {(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Passaggio 3.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Passaggio 3.5.2

Scomponi ${(x^{2} + 6)}^{2}$ da $2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi ${(x^{2} + 6)}^{2}$ da $2 {(x^{2} + 6)}^{3} x$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x) - 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi ${(x^{2} + 6)}^{2}$ da $- 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x) + {(x^{2} + 6)}^{2} (- 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Passaggio 3.5.2.3

Scomponi ${(x^{2} + 6)}^{2}$ da ${(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x) + {(x^{2} + 6)}^{2} (- 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 6]))$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Passaggio 3.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi ${(x^{2} + 6)}^{2}$ da ${(x^{2} + 6)}^{6}$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{2} {(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{2} {(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.9

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.10.3

$- 36$ e $\frac{2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 36 (2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.10.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{(36) (2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11

Semplifica.

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Passaggio 3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = - \frac{36 ((2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) + (- 6 x^{2} - 6 \cdot - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.4

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) - 6 x^{2} x - 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.5

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.11.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.11.6.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.11.6.1.1.1

Sposta $x$ .

$f''' (x) = - \frac{36 (2 (x \cdot x^{2})) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.11.6.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = - \frac{36 (2 (x \cdot x^{2})) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{1 + 2}) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{3}) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6.1.2

Moltiplica $2$ per $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6.1.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 36 (12 x) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6.1.4

Moltiplica $12$ per $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.11.6.1.5.1

Sposta $x$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 (x \cdot x^{2})) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.11.6.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 (x \cdot x^{2})) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 x^{1 + 2}) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 x^{3}) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6.1.6

Moltiplica $- 6$ per $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x - 216 x^{3} + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6.1.7

Moltiplica $- 6$ per $- 2$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x - 216 x^{3} + 36 (12 x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6.1.8

Moltiplica $12$ per $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x - 216 x^{3} + 432 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6.2

Sottrai $216 x^{3}$ da $72 x^{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{- 144 x^{3} + 432 x + 432 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.6.3

Somma $432 x$ e $432 x$ .

$f''' (x) = - \frac{- 144 x^{3} + 864 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.7

Scomponi $144 x$ da $- 144 x^{3} + 864 x$ .

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Passaggio 3.11.7.1

Scomponi $144 x$ da $- 144 x^{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- x^{2}) + 864 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.7.2

Scomponi $144 x$ da $864 x$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- x^{2}) + 144 x (6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.7.3

Scomponi $144 x$ da $144 x (- x^{2}) + 144 x (6)$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.8

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- (x^{2}) + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.9

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- (x^{2}) - 1 \cdot - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.10

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- 6)$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- (x^{2} - 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.11

Riscrivi $- (x^{2} - 6)$ come $- 1 (x^{2} - 6)$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- 1 (x^{2} - 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = \frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Passaggio 3.11.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Passaggio 3.11.14

Moltiplica $\frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$ per $1$ .

$f''' (x) = \frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$