Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{4} + 8}{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{4} + 8$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.4

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{3} + 0) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.5

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} x^{2} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3 + 2} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.3.3

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{x^{5} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.4

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$\frac{4 \cdot x^{5} - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{4 x^{5} - (x^{4} + 8) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 1.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 (x^{4} + 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{5} + (- 2 x^{4} - 2 \cdot 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{4} x - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 (x \cdot x^{4}) - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Passaggio 1.7.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 (x^{1} x^{4}) - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Passaggio 1.7.3.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{1 + 4} - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Passaggio 1.7.3.1.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Passaggio 1.7.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 16 x}{x^{4}}$

Passaggio 1.7.3.2

Sottrai $2 x^{5}$ da $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 16 x}{x^{4}}$

Passaggio 1.7.4

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5} - 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 16 x}{x^{4}}$

Passaggio 1.7.4.2

Scomponi $2 x$ da $- 16 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 8)}{x^{4}}$

Passaggio 1.7.4.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4}) + 2 x (- 8)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 8)}{x^{4}}$

Passaggio 1.7.5

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Scomponi $x$ da $2 x (x^{4} - 8)$ .

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x^{4}}$

Passaggio 1.7.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 1.7.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 1.7.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{2 (x^{4} - 8)}{x^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 (x^{4} - 8)}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 8}{x^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 8}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$2 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3} + 0) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.3.5

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3}) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$2 \frac{x^{3} x^{3} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{x^{3 + 3} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.3

Somma $3$ e $3$ .

$2 \frac{x^{6} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.5

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{6}$ .

$2 \frac{4 \cdot x^{6} - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 \frac{4 x^{6} - (x^{4} - 8) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 2.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 \frac{4 x^{6} - 3 (x^{4} - 8) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 2.7.2

Scomponi $x^{2}$ da $4 x^{6} - 3 (x^{4} - 8) x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $4 x^{6}$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4}) - 3 (x^{4} - 8) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 2.7.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 (x^{4} - 8) x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4}) + x^{2} (- 3 (x^{4} - 8))}{x^{6}}$

Passaggio 2.7.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (4 x^{4}) + x^{2} (- 3 (x^{4} - 8))$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{6}}$

Passaggio 2.8

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 2.8.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8)}{x^{4}}$

Passaggio 2.9

$2$ e $\frac{4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8)}{x^{4}}$ .

$\frac{2 (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{4}}$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (4 x^{4} - 3 x^{4} - 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Passaggio 2.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (4 x^{4}) + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Passaggio 2.10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 x^{4} + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Passaggio 2.10.3.1.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Passaggio 2.10.3.1.3

Moltiplica $2 (- 3 \cdot - 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.3.1

Moltiplica $- 3$ per $- 8$ .

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 2 \cdot 24}{x^{4}}$

Passaggio 2.10.3.1.3.2

Moltiplica $2$ per $24$ .

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 48}{x^{4}}$

Passaggio 2.10.3.2

Sottrai $6 x^{4}$ da $8 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{4} + 48}{x^{4}}$

Passaggio 2.10.4

Scomponi $2$ da $2 x^{4} + 48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{4}$ .

$\frac{2 (x^{4}) + 48}{x^{4}}$

Passaggio 2.10.4.2

Scomponi $2$ da $48$ .

$\frac{2 x^{4} + 2 \cdot 24}{x^{4}}$

Passaggio 2.10.4.3

Scomponi $2$ da $2 x^{4} + 2 \cdot 24$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} + 24)}{x^{4}}$