Calcolo Esempi

$y = \frac{3 x \sin (x)}{2 + \cos (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x \sin (x)}{2 + \cos (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x \sin (x)}{2 + \cos (x)}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{2 + \cos (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{2 + \cos (x)}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x \sin (x)$ e $g (x) = 2 + \cos (x)$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5

Differenzia.

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Passaggio 3.5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.6

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica.

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Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.8

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11

Somma $1$ e $1$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.12

$3$ e $\frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{3 ((2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13

Semplifica.

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Passaggio 3.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 ((2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.13.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.13.2.1.1

Espandi $(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.13.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.1.2

Moltiplica $\cos (x) (x \cos (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.2.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (2 \sin (x)) + 3 (x \cos^{2} (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.2.1.4.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 (x \cos (x)) + 3 (2 \sin (x)) + 3 (x \cos^{2} (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.1.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 (x \cos (x)) + 6 \sin (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x \sin^{2} (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.2

Sposta $3 x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 x \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.3

Scomponi $3 x$ da $3 x \cos^{2} (x)$ .

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\cos^{2} (x)) + 3 x \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.4

Scomponi $3 x$ da $3 x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\cos^{2} (x)) + 3 x (\sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.5

Scomponi $3 x$ da $3 x (\cos^{2} (x)) + 3 x (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.6

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.7

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x \cdot 1 + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.2.8

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.3

Riordina i termini.

$\frac{6 x \cos (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.4

Scomponi $3$ da $6 x \cos (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x + 6 \sin (x)$ .

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Passaggio 3.13.4.1

Scomponi $3$ da $6 x \cos (x)$ .

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.4.2

Scomponi $3$ da $3 \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 x + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.4.3

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x) + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.4.4

Scomponi $3$ da $6 \sin (x)$ .

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x) + 3 (2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.4.5

Scomponi $3$ da $3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x))$ .

$\frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x) + 3 (2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.4.6

Scomponi $3$ da $3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x)$ .

$\frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x) + 3 (2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.13.4.7

Scomponi $3$ da $3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x) + 3 (2 \sin (x))$ .

$\frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$